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国外教材中关于连续复利存在的问题高俊科(河北广播电视大学,河北石家庄050071)摘要:本文分析说明,国外各学科教材中关于连续复利的认识和应用都是不对的。关键词:年利率;增长率;连续复利中图分类号:F820文献标识码:A1问题的提出通常国外教材中讲的连续复利是:设初始资金为,年利率为,按复利计算,年后资金总额为(1)若将一年分为期计算,每期利率取为,得复利分期计算公式(2)令,将计息期缩减为零,实现所谓的连续计算,得所谓连续复利计算公式(3) 文已经详细分析了连续复利公式(3)推导中的问题,这种推导在理论上和实践上都应当说是没有任何意义。连续复利这种概念长时期存在于多学科国外的教材中,长时期广泛存在的东西不易引起质疑。要否定连续复利这一概念,就要对关于连续的各种论述进行辨析。如果在诸多的不同的论述中,只要有一种论述是正确的,我们就不能否定连续复利存在的意义,所以我们必须对见到的各种论述逐一进行分析。实际上,连续复利不仅没有意义,在认识和应用中还让人们产生混乱和错误。2推证中的问题例12006年机械工业出版社出版的《微积分及其应用》(英文第8版翻译本)(第293,294页)用解微分方程和求极限两种方法推证了连续复利模型。“例4商业:永续复利(这里的”永续复利”即一般书中的连续复利;这个词在该书中第一次出现就是在这个例题中—本文注)假设投入资金到储蓄中,年永续复利率为,即结存的增长率为a)根据所给出的和,求满足这个方程的函数。b)假设投资100美元,1年后结存是多少?c)多少时间之后所投资的100美元能翻一番?解:a)b)美元c)求时间T,使得P(T)=200美元,数T称为倍增时间(doubling time),为了求T,解方程2=利用自然对数解此方程:根据(为该书第280页对数基本性质5-本文注) 于是,年后100美元才能翻一番导出公式的另一种途径是首先考虑和永续复利,设和得到我们关心的是,当无限增大时,即趋于时会出现什么结果。为了确定这个极限,首先令于是,或因为是一个正常数,上式说明当无限增大时也无限增大,为了求出关于永续复利的公式,计算下面的极限=”在这本《微积分及其应用》用微分方程方法证明连续复利模型的过程中,通过具体数值,从和初始条件推出了。这也就是从和初始条件推出。用极限方法证明连续复利模型的过程中,用到了。这就是说用(初始条件)与都能推出,并且两种推证方法中用到的是相同的参数,这就更容易让人相信连续复利法的正确性。这里存在的问题是,尽管在这个例题中把参数解释为年永续复利率,但参数的含义是什么还是需要做进一步分析。如果给出的是连续复利率,在极限推导方法中,构成的式子已不是复利分期计算模型(2)。这应当是已经说不清含义的一个式子;在方程推导方法中,根据所谓连续复利率得出,也缺乏确切的根据。这如同根据连续化后的式子(取实数中)中的得出缺乏确切的根据一样。如果是(普通)年复利率,则是不成立的;根据本节以上分析可知,由推也是不对的。总之,这里用的两种方法每一种都是不对的。《公司理财》(英文第8版翻译本)中有“例4-15连续复利LindaDefond以连续复利计息方式将其1000美元投资1年。那么,她的投资到了年末将等于多少?由式(4—9)(指计算式——本文注)可得:1000美元美元美元