求导数的方法.doc

(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤: ①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限,得导数。(2)几种常见函数的导数公式: ①C'=0(C为常数); ②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q); ③(sinx)'=cosx; ④(cosx)'=-sinx; ⑤(e^x)'=e^x; ⑥(a^x)'=a^xIna(ln为自然对数) ⑦(Inx)'=1/x(ln为自然对数)(3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2(4)复合函数的导数复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。导数是微积分的一个重要的支柱!导数公式及证明[编辑本段]这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:=c(c为常数)y'==x^ny'=nx^(n-1)=a^xy'=a^xlnay=e^xy'=e^(x)=logaXf'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)y=lnxy'=1/=sinxy'==cosxy'=-=tanxy'=1/cos^=cotxy'=-1/sin^=arcsinxy'=1/√1-x^=osxy'=-1/√1-x^=arctanxy'=1/1+x^=otxy'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』=u/v,y'=u'v-uv'/v^=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'证:,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。可以知道,当a=e时有y=e^xy'=e^x。=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于