在函数方程的发展史上,,,:依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值,,,可能存在着不同的函数,,通常需要给所求的函数附加一些条件,例如要求所求的函数必须是连续的,,?如果对于较大的自变量的值,函数值也较大;即当时,有,,函数值反而较小;即当时,有,,,:设有一个区间序列:(78)其中每个区间都包含着后一个区间:(其中是集的包含符号)形成一个“区间套”,而且区间长度可以任意地小(就是说,不论我们事先给定一个多么小的正数ε,序列(78)中总存在这样一个区间,从此以后所有的区间的长度都小于ε).那末,必定存在着唯一的一个点ξ,被所有(无穷多),如果把和取作ξ的精确到10-,-,我们知道,圆周率π是一个无理数:于是,-=10-1,-=10-2,-=10-3,….我们注意到,每个区间的端点都是有理数,而只有唯一的一个无理数α=,我们转入函数方程的柯西解法的讨论.[例19]解函数方程(79)解由函数方程(79)容易推得(用数学归纳法):(80)在(80)中如果令,就得到再令(m是正整数),又有所以记常数f(1)=>0,都有(81)当自变量的值为零时,即令x=y=0,由函数方程(79),有∴这就是说,对于自变量的值为零的情形,函数方程(79)的解也是(81).对于自变量为负数的情形,如x为负有理数,可设于是有所以总之,对于自变量的任何有理数值x=r,函数方程(79)的解都是(81):(82)=ξ(ξ是无理数).(x)的单调性(为确定起见,不妨设f(x)是单调增加的),推知(83)因为由又得由于,是有理数,由(83)得(84)比较(83)和(84),,只有一个点为所有区间套公有,得知=.(85)综合(82)和(85),即得:对于任何实数x,函数方程(79)的解是正比例函数[例20]解
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