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求通项公式和数列求和的常用方法[1].doc


文档分类:中学教育 | 页数:约12页 举报非法文档有奖
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一公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有,等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列的前项和为,并且,求的通项公式?【解析】:,,,又,.反思:利用相关数列与的关系:,与提设条件,建立递推关系,,:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性,,,,求数列的通项公式.【解析】:,,,猜测,再用数学归纳法证明.(略)反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,,其前项和为,并且对于所有自然数,与1的等差中项等于与1的等比中项,:利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法(可求前项和).例三已知无穷数列的的通项公式是,若数列满足,,求数列的通项公式.【解析】:,,=1+++=.反思:,,:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例四已知,,求数列通项公式.【解析】:,,又有=1×=,当时,满足,.反思:,.:类型1解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足,,求。解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,类型2解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足,,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,例3:已知,,求。解:。变式:(2004,全国I,)已知数列{an},满足a1=1,(n≥2),则{an}的通项解:由已知,得,用此式减去已知式,得当时,,即,又,,将以上n个式子相乘,得类型3(其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中,,,:,令,则,,2为公比的等比数列,则,:(2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_______________(key:)类型4(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q,r均为常数)。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。例5:已知数列中,,,求。解:在两边乘以得:令,则,解之得:所以类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。解(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。例6:数列:,,求解(特征根法):的特征方程是:。,。又由,于是故练习:已知数列中,,,,求。。变式:(2006,福建,文,22)已知数列满足求数列的通项公式;(I)解:类型6递推公式为与的关系式。(或)解法:利用与消去或与消去进行求解。例7:数列前n项和.(1)求与的关系;(2):(1)由得:于是所以.(2)应用类型4((其中p,q均为常数,))的方法,上式两边同乘以得:,2为公差的等差数列,所以数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是,抓通项,找规律,套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法:一、直接(或转化)由等差、:2、等比数列求和公式:4、例1(07高考山东文18)设是公比大于1的等比数列,,且构成等差数列.(1)求数列的等差数列.(2):(1)由已知得解得. 设数列的公比为,由,,可知,即,..故数列的通项为.(2)由于由(1)得 ,又 是等差数列. :设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,、错位相减法设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。例2(07高考天津)在数列中,,其中.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅰ)解:由,,可得,所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为.(Ⅱ)解:设, ①②当时,①式减去②式,得,.,.这

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  • 时间2019-07-18