同伦分析方法
科学和工程中的绝大部分问题是非线性的。摄理
论被广泛地应用于许多非线性问题之求解,从深度和广度上都大大加深了人类对非线性问题本质的理解。然而,摄动方法过分依赖物理小参数,通常仅适用于弱非线性问题,这大大限制了其应用范围。此外,传统的“非摄动方法”,如
Lyapunov人工小参数法、Adomian分解法等,虽然形式上不依赖小参数,但它们与摄动方法一样,都不能提供一个便捷的途径确保所求得的级数解收敛,从而确保所获得的解析近似足够精确。因此,就本质而言,传统的解析近似方法通常仅适用于弱非线性问题。所以,提出求解强非线性方程全新的解析近似方法具有重要的理论和应用价值。
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与传统解析近似方法相比,同伦分析方法具有下述优点。
(1)普遍有效性:无论非线性方程是否含有物理小参数,都可应用同伦分析方法求解;
(2)确保收敛性:总可以选取适当的收敛控制参数和辅助线性算子确保级数解之收敛;
(3)灵活性:可自由选取基函数来表达级数解,并自由选取对应的辅助线性算子和初始近似解。
因此,同伦分析方法从本质上克服了摄动方法和其他“非
摄动方法”的局限性,适合于强非线性方程的求解。
遗憾的是,主要从应用数学和力学的角度来发展和完善该方
法。纯数学可以给出更简洁、更优美的结果。期待今后有更
多纯数学背景的研究人员对该方法感兴趣,从纯数学的观点
进一步发展和完善该方法。
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