专题六 第1讲排列与组合、二项式定理.doc

第1讲排列与组合、二项式定理
【高考考情解读】 、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主,主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等;对二项式定理的考查,主要是利用通项求展开式的特定项,、转化与化归思想、、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查,一般以选择题、填空题形式出现,难度中等,还经常与概率问题相结合,出现在解答题的第一或第二个小题中,难度也为中等;对于二项式定理的考查,主要出现在选择题或填空题中,难度为易或中等.
1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
2. 排列与组合
(1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)或写成A=.
(2)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素组成一组,
C=
或写成C=.
(3)组合数的性质
①C=C;
②C=C+C.

(1)定理:(a+b)n=Canb0+Can-1b+Can-2b2+…+Can-rbr+…+Ca0bn(r=0,1,2,…,n).
(2)二项展开式的通项
Tr+1=Can-rbr,r=0,1,2,…,n,其中C叫做二项式系数.
(3)二项式系数的性质
①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,
即C=C,C=C,…,C=C,….
②最大值:当n为偶数时,取得最大值;当n为奇数时,相等,且同时取得最大值.
③各二项式系数的和
+C+C+…+C+…+C=2n;
+C+…+C+…=C+C+…+C+…
=·2n=2n-1.
考点一两个计数原理
例1 (1)(2013·山东)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )

(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275),那么所有凸数的个数为( )

本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用,解题的关键是合理分类,正确分步.
答案(1)B (2)A
解析(1)无重复的三位数有:A+AA=648个.
则有重复数字的三位数有:900-648=252个.
(2)分8类,当中间数为2时,有1×2=2种;
当中间数为3时,有2×3=6种;
当中间数为4时,有3×4=12种;
当中间数为5时,有4×5=20种;
当中间数为6时,有5×6=30种;
当中间数为7时,有6×7=42种;
当中间数为8时,有7×8=56种;
当中间数为9时,有8×9=72种.
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240种.
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理.
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.
(1)在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )

(2)如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数中,“好数”共有________个.
答案(1)C (2)12
解析(1)首先安排A有2种方法;第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B,C,有4种排法,而B,C位置互换有2种方法;第三步安排剩余的3个程序,有A种排法,共有2×4×2×A=96种.
(2)当相同的数字不是1时,有C个;
当相同的数字是1时,个,
由分类加法计数原理知共有“好数”=12个.
考点二排列与组合
例2 (1)(2013·重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答)
(2)(2013·浙江)将A、B、