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“变换”出彩汪佳明宁波中学初中部兴宁中学数学组(315100)摘要:数学家亚格龙将几何学定义为:几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科。可见“变换”的运动观点在几何学中是很重要的。几何变换是指把一个几何图形F1变换成另一个几何图形F2的方法。初中阶段涉及了四种变换,其中“轴对称、平移、旋转”变换后所得的新图形F2与原图形F1之间仅仅是位置发生了变化,其形状和大小都没有改变,它们刻画了两个全等图形特定的位置关系,而相似变换保留了几何图形F1与F2线段间的比例关系,而图形本身的大小要改变。不同变换之下的图形都具有各自不同的性质,这些性质不仅能为推理提供依据,同时也是解决许多实际问题的重要工具。本文旨在从解题方法与策略入手,通过实例来探讨这几种变换的应用。一、平移变换通过平移把部分图形搬到新的位置,使问题的条件相对集中,从而使条件与代求结论之间的关系明朗化,促使问题的解决。平移变换应用时,可采用下列的方法①把图形中的某个条件平移②把结论中的线段、角或图形平移③把图形中的某个条件和结论同时平移例1:如图,在一块长20m,宽10m的矩形地面上,修建两条宽度分别是2m和3m的小路且小路的宽度处处相等,其余部分栽种花草,求花草的面积。3m2m分析:此类题目较常见,只需抓住小路的宽度处处相等,把四块不规则的草地图形通过平移,拼成一个长为17m宽为8m的长方形,其面积即为花草面积。属于方法中的③,把不规则的部分图形通过平移后能够重整为一个规则或易求的几何图形,这也提供了一个求面积的方法。CABDOE例2:如图,AB=CD=1,∠BOD=60°求证:AC+BD≧1分析:如图添辅助线,平移AC至DE,构造了⊿BDE,由平移性质∠BAE=∠BOD=60°,四边形DEAC是平行四边形,所以AB=CD=1=AE=BE,在⊿BDE中,BD+DE﹥BE;当AC//BD时BD+DE=BE。此题由结论出发,联想到应用三角形的三边不等关系,通过把图形中的线段AC平移,使得AC、BD两条线段集中到一个三角形中,充分利用了平移是全等变换的特性。例3:以浙教版七年级(下)课后作业题中的造桥选址问题引出:如图在AB之间有两条河,则两条河上的桥(桥与岸垂直)分别建在何处才使A到B的路程长最短?①河1与河2平行②河1与河2不平行③河1与河2垂直分析:以①为例,此题利用作业题中的造桥选址问题进行类比联想,设法将两条河都转化为没有宽度的直线,即将A向下平移河1的宽度至A1,将B向上平移河2宽度至B1,连结A1、B1,交两河于C、E,再作垂线段CD、EF,即为所求作的两座桥。通过平移在河上造桥问题也就转化为在直线上找点的问题了,由“两点之间线段最短”可知两直线的交点就是该点的位置。②、③两题的作法同理。由上几例的计算、证明和作图中,我们不难发现平移变换常与平行线相关,往往要用到平行四边形的性质;平移变换还可将角、线段、图形等移到适当的位置,使得分散的条件相对集中,便于我们运用公式、定理等来解决问题。二、旋转变换遇到下列情形中常实施旋转变换:①图形中出现等边三角形或正方形,把旋转角定为60°或90°②图中有线段的中点,将图形绕中点旋转180°,构造中心对称的全等图形③图中出现了公共端点的线段,将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合。例4:如图,⊿ABC中,∠C=90