第一节极限一、,当项数无限增大时,如果无限趋近于某个常数A,则称A为数列的极限,,,则(1);(2);(3)(1)单调递增有上界的数列必有极限(2)单调递减有下界的数列必有极限(3)夹逼法则:若,,且,、(1),指的是时,的函数值无限趋于常数A;的充分必要条件是比如,,不存在。(2),是指当无限趋于时,的函数值无限趋于常数A;比如,函数,当时,极限是4,与处的函数值无关。(3)左极限,右极限的充分必要条件是极限不存在的三种情形:左、右极限都存在,但不相等;比如,左、右极限有一个不存在;比如,左、右极限都不存在;比如,(1)唯一性(2)局部有界性:若,则在附近有界(3)局部保号性:若,(1)四则运算法则(2)夹逼法则(3)复合函数的极限法则设,若,,则;比如,(1)(2).=()A、-B、-1C、0D、,有理、无理分式求极限例7.,(利用)(1)(2)三、,则称当时是无穷小量;若,则称当时是无穷小量。简称无穷小。(1)有限个无穷小量的和、差仍为无穷小量;(2)有限个无穷小量的积仍为无穷小量;(3)有界函数与无穷小量的积仍为无穷小量;(4)常量与无穷小量的积仍为无穷小量;(或)时和都是无穷小量,则当时,称是比高阶的无穷小量,记作当时,称和是同阶无穷小量,特别地,当时,称和是等价无穷小量,记作定理:(等价无穷小量的替换)设时,,,都是无穷小量,且,,若存在,则常见的等价无穷小有:当时,有,;当时(如,()),,:设当(或)时,函数的绝对值无限增大,则称(或)时为无穷大量,简称无穷大,记为(或)注意:在时为无界函数,但不是无穷大量。定理:当(或)时,若为无穷大量,则为无穷小量;若为无穷小量且在附近不等于零,则为无穷大量第三节函数的连续性一、,有,即。、,则称点为的间断点:(1)第一类间断点。当和都存在,并且两者相等,当不等于时,称为可去间断点;当和都存在,但不相等时,称为跳跃间断点。(2)第二类间断点。的非第一类间断点称为第二类间断点。当和至少有一个为时,间断点称为无穷间断点;当振荡不存在时,称为振荡间断点。。四、:设函数在闭区间上连续,则在上存在最大和最小值。:设函数在闭区间上连续,则对于与之间的任一数,存在,使得。:设函数在闭区间上连续,且与异号,则在开区间内至少存在一点,使得。第二章导数与微分第一节导数的概念一、。如果或存在,则称在点可导,此极限值为在点的导数,:;;,则称为导函数。,且,,且满足条件,(x)可导,且,则=()、函数可导与连续的关系定理:若在点处可导,则在点处连续。逆定理不成立。比如,在处连续但不可导。(x)在x=0点某邻域内有定义,若=1成立,则()。A、g(x)在x=0点连续,但不可导B、g(x)在x=0点可导C、g(x)存在,但g(x)在x=0点不连续D、x→0时,g(x)是x的高阶无穷小量第二节求导法则一、基本初等函数的导数公式1.;2.;.;5.;.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;15.;16.;二、函数四则运算的求导法则定理:设,可导,则1.;2.;(为常数);、复合函数求导法定理:设,,则比如,,则例1例2四、高阶导数定义:的导数的导数,称为的二阶导数,即的导数称为的阶导数。(x)满足f1(x)=f2(x),且f(0)=-1,则在点x=0的三阶导数f(3)(0)=()。A、-6B、-4C、4D、6第三节微分一、:设函数,如果,其中A是常数,则称在点处可微,并称为在点的微分,:在点处可微的充分必要条件为在点可导,这时。如果在定义域内每一点都可微,则称为定义域上的可微函数,,最值一、函数的增减性函数单调递增;.函数单调递减二、,极小值的定义;:函数在点是极值点的必要条件为:
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