JH工业园循环经济规划实证研究.pdf

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复习本章所讨论的一般方程组固定编号:
非齐次
齐次
(1)
(2)
方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵记为:
—线性方程组的向量形式
1. 是的线性组合( 可由线性表示)
2. 任一n维向量都可由Rn的基本单位向量组唯一线性表示:
有解
(组合系数就是方程组的一个解)
3.
可表示为
的线性组合
2017/8/12
第二章线性方程组
4
有非零解
(无)
(只有零解)
r < n
(r = n)
5.
线性相关
线性相关
不全为0,
4.
线性无关
仅当k1=k2=…=ks=0时成立.
重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系.
可否由线性表示——
竖排行变换, 放末列.
是否线性相关——
竖排行变换.
求向量组的秩,并将其余……——
竖排行变换.

(线性无关)
(任一向量都不能由其余向量线性表示)
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
;整体无关部分无关
定理4. 短无关长无关;长相关短相关.
定理6. 线性无关, 线性相关
可由唯一线性表示.
定理1. n个n维向量线性相关
(线性无关)
(不为0)
>向量维数,
其排成的行列式值为0
向量组线性相关.
定理7. 向量组(I)可由(II) , (II)可由(Ⅲ)线性表示
向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示
.
推论向量组的任意两个极大无关组等价
定理9 向量组可由线性表示,若t > s,则线性相关.
推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等
推论1(逆否命题)
推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等.
线性表示
线性无关,且可由
定理10
推论:等价的向量组秩相等.
可由线性表示
≤
定理11 矩阵A的行秩=矩阵A的列秩=矩阵A的秩
一、线性方程组有解的判定定理
定理1. 线性方程组(1)有解
(cii≠0,i=1,2,…,r必要时可重新安排未知量的顺序)
证明:
行变换

线性方程组解的结构
推论1 线性方程组(1)有唯一解
推论2 线性方程组(1)有无穷多解
推论3 齐次线性方程组(2)只有零解
推论4. 齐次线性方程组(2)有非零解
二、齐次线性方程组解的结构

1)两解之和仍是解
2)常数乘以解仍是解
3)若干解的线性组合仍是解
例1. 讨论为何值时,方程组有解
∴若齐次线性方程组有非零解,则必有无穷多解,若能求出这个解向量组的一个极大无关组,则任一解向量均可用它们线性表示,因而可用它们的线性组合来表示原齐次线性方程组的全部解.
2. 齐次线性方程组解的结构
定义:齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个基础解系。
定理2 对齐次线性方程组(2),若r(A)=r < n,则基础解系存在,且均含n-r个解。
齐次线性方程组(2)当不存在基础解系
r(A)=n时只有零解,
当r(A)=r < n时,有:
证(注意:该证明给出了求基础解系的方法!)