第六章时间序列的小波分析
时间序列(Time Series)是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中,时域和频域是常用的两种基本形式。其中,时域分析具有时间定位能力,但无法得到关于时间序列变化的更多信息;频域分析(如Fourier变换)虽具有准确的频率定位功能,但仅适合平稳时间序列分析。然而,地学中许多现象(如河川径流、地震波、暴雨、洪水等)随时间的变化往往受到多种因素的综合影响,大都属于非平稳序列,它们不但具有趋势性、周期性等特征,还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构,具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究,通常需要某一频段对应的时间信息,或某一时段的频域信息。显然,时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初,由Morlet提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析(Wavelet Analysis)为更好的研究时间序列问题提供了可能,它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期,充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势,并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前,小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中,小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波,信息量系数和分形维数的计算,突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理
1. 小波函数
小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此,小波函数是小波分析的关键,它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数,即小波函数且满足:
(1)
式中,为基小波函数,它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系:
其中, (2)
式中,为子小波;a为尺度因子,反映小波的周期长度;b为平移因子,反应时间上的平移。
需要说明的是,选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中,应针对具体情况选择所需的基小波函数;同一信号或时间序列,若选择不同的基小波函数,所得的结果往往会有所差异,有时甚至差异很大。目前,主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏,并由此选定该类研究所需的基小波函数。
2. 小波变换
若是由(2)式给出的子小波,对于给定的能量有限信号,其连续小波变换(Continue Wavelet Transform,简写为CWT)为:
(3)
式中,为小波变换系数;f(t)为一个信号或平方可积函数;a为伸缩尺度;b平移参数;
为的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的,设函数,(k=1,2,…,N; 为取样间隔),则式(3)的离散小波变换形式为:
(4)
由式(3)或(4)可知小波分析的基本原理,即通过增加或减小伸缩尺度a来得到信号的低频或高频信息,然后分析信号的概貌或细节,实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。
实际研究中,最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数,然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。
3. 小波方差
将小波系数的平方值在b域上积分,就可得到小波方差,即
(5)
小波方差随尺度a的变化过程,称为小波方差图。由式(5)可知,它能反映信号波动的能量随尺度a的分布。因此,小波方差图可用来确定信号中不同种尺度
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