2013上海一模数学难题详解 闵行闵行上海数学一闵行上海数学一.doc

MH(闵行)
(0,)上的函数y=2(sinx+1)与y=的图像的交点为P,过P作PP1⊥x轴于P1,直线PP1与y=tanx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为.
解:由2(sinx+1)=Þsinx=,xÎ(0,)Þ x=arcsin,即P(arcsin,),tan(arcsin)=,即
P2点的纵坐标为,故P1P2的长为.
x
y
O
1
2
g(x)=x-1
11.(理)已知不等式|2x-a|>x-1对任意xÎ[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是 a<2,或a>5 .
解:令f(x)=|2x-a|,g(x)=x-1,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,
由图知,或Þa<2,或a>5.
x
y
O
1
2
g(x)=x-1
a
3
(文)已知不等式|x-a|>x-1对任意xÎ[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是 a<1或a>3 .
解:令f(x)= |x-a|,g(x)=x-1,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,
由图知a<1,或a>3.
A
B
C
P
Q
12.(理)已知△ABC的面积为,在△ABC所在的平面内有两点P、Q,满足,,则四边形BCPQ的面积为 2/3 .
解:ÞP为线段AC中点,
ÞÞQ是线段AB的三等分点,且离B较近,
如图,,
得S△APQ=,∴S四边形BCPQ=.
A
B
C
P
Q
(文)已知△ABC的面积为,在△ABC所在的平面内有两点P、Q,满足,,则△APQ的面积为 1/3 .
解:ÞP为线段AC中点,
ÞÞQ是线段AB的三等分点,且离B较近,
如图,,
得S△APQ=.
13.(理) 如下图,对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”(其中m、nÎN*)):例如72的“分裂”中最小的数是1,最大的数是13;若m3的“分裂”中最小的数是211,则m= .
解:由“分裂”图的规律知:m3的“分裂”中有m个数,它们组成公差为2的等差数列,现已知首项为211,则m3=211m+Þ m2=211+m-1Þ m2-m-210=0Þ(m+14)(m-15)=0,mÎN*,∴ m=15.
x
y
O
f(x)=1
f(x)=2
1
-1
1
2
(文)已知函数,则关于x的方程的实根的个数是 5 .
解:Þ或,
画出的图像,由图可知:直线y=1和y=2与y=f(x)的
图像共有5个交点,故原方程有5个实根.
x
y
O
f(x)=t
f(x)=2
1
-1
1
2
14.(理) 已知函数,关于x的方程恰有6个不同实数解,则a的取值范围是(-4,-2) .
解:,是偶函数,
且,画出它的图像,由图可知:原方程有6个不同实数解,则应有和
,且tÎ(0, 2),由韦达定理,-a=2+tÎ(2, 4)Þ aÎ(-4,-2).
x