计算方法之常微分方程数值解法.ppt

1
在许多实际问题中,往往不能直接求出函数的解析表达式y=f(x),但根据已知条件,有时可列出含有待求函数及其导数的关系式——微分方程。
例1 一曲线通过点(1 , 2),且在该曲线上任一点M(x , y)处的切线斜率为 2x ,求该曲线的方程。
解:设所求曲线为y=y(x),由已知条件可得
——此即为微分方程
2
由另一已知条件:y|x=1=2  2=12+c  c=1
故函数解析表达式为:y=x2+1
c为积分常数
例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶,当制动时,列车获得加速度-,问从制动开始到停止所需的时间 t 以及列车滑行的距离 S 。
解:由已知条件得如下微分方程
3
一般地,凡表示未知函数、未知函数导数与自变量之间的关系的方程称为微分方程,未知函数为一元函数时的微分方程——常微分方程。如:
4
常微分方程初值问题:
给定一个常微分方程及边界条件:
求解函数y=f(x)
实际上:只有少数问题如例1、2能求出y=f(x)的解析表达式,对大多数微分方程要求出函数的准确表达式,计算量大、甚至不可能,而且实用上有时只需得到在某些点处的函数近似值即可。
5
常微分方程的数值解法:
利用给定常微分方程及边界条件解出函数y=f(x)在若干离散点处的近似值的方法,即在区间[a,b]上有若干离散点:a=x0<x1<...<xn=b,现用离散化方法求出yk,作为精确值y(xk)的近似值。
1、基于数值微商的欧拉公式(化导数为差商)
(1)由下面的常微分方程求解函数值y(xk)
6
设[a,b] n等分,xk=x0+kh ,k=1,...,n,h为步长
操作方法:
将xk处的导数y’(xk)近似地用差商表示
①用向前差商表示:
代入微分方程得:
或者:
——此即欧拉公式
xk xk+1
7
②用向后差商表示:
或者:
——后退欧拉公式
③用中心差商表示:
xk-1 xk xk+1
8
(2)欧拉公式的几何意义:
——中点欧拉公式
yn
xn=b
o
y0
y
x
a=x0 x1 x2 x3
y3
y1
y2
9
从欧拉公式求解y(xk)的过程来分析:
求解过程从边界条件y|x0=y0即y(x0)=y0开始:
>>求y(x1):以y1=y0+hy’(x0)=y0+hf(x0,y0)作为近似值,相当于从(x0,y0)取:
为斜率作直线,与x=x1交于(x1,y1)
>>求y(x2):以y2=y1+hy’(x1)=y1+hf(x1,y1)作为近似值,相当于从(x1,y1),取:
为斜率作直线,与x=x2交于(x2,y2)
…………故:欧拉法又称欧拉折线法。
10
例 用欧拉法求解常微分方程初值问题:
解:由微分方程可得 f(x,y)=y2
取h=, [ , ]被x0= , x1= , x2= , x3= , x4=。
由欧拉公式yk+1=yk+hf(xk,yk),从y0=1开始,依次计算yk的值:
y1=1+×12= y2=+× ......