第一章
二、极限的四则运算法则
三、复合函数的极限运算法则
一、无穷小与无穷大
第四节
极限运算法则
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利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程
是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇
到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限?
限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运
算法则。
本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的
极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以
.
极限运算法则
2
一、无穷大与无穷小
无穷小:
注意:无穷小与很小的数的区别。
定义:如果当(或)时函数
的极限为零,那么叫做(或
)时的无穷小.
以0为极限的数列也称为时的无穷小.
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在的变化过程中是否为无
穷小量,与 x 的变化趋势有关。
如当
4
其中(x) 为
时的无穷小量.
定理. ( 无穷小与函数极限的关系)
证:
当
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证.
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时, 有
无穷小的性质
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小.
证: 考虑两个无穷小的和.
设
当
时, 有
当
时, 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量.
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说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小!
例如,
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小.
(P57,题3)
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证: 设
又设
即
当
时, 有
取
则当
时, 就有
故
即
是
时的无穷小.
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小.
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例1. 求下列无穷小的和的极限
解:
9
例2. 求
解:
利用定理 2 可知
说明: y = 0 是
的渐近线.
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