数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.doc

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题数学研究课题---,两个截面圆的半径为,.两截面间的距离为,:此类题目的求解是首先做出截面图,再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形,:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于,上述大圆的垂直于的直径交于,,则,解得..说明:通过此类题目,明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题,进一步熟悉有关圆的基础知识,熟练使用方程思想,合理设元,列式,,引球的三条两两垂直的弦,:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,:以为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.=.说明:此题突出构造法的使用,:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,:设球的半径为,正方体的棱长为,它们的体积均为,则由,,由得...,:突出相关的面积与体积公式的准确使用,,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两个球的半径之间的关系,:如图,正四面体的中心为,的中心为,则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离,,,..说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径(为正四面体的高), :四棱锥的体积由它的底面积和高确定,只需找到底面、高与球半径的关系即可,解决这个问题的关键是如何选取截面,:∵棱锥底面各边相等,∴底面是菱形.∵棱锥侧棱都相等,∴侧棱在底面上射影都相等,即底面有外接圆.∴底面是正方形,且顶点在底面上的射影是底面中心,,设棱长为,则底面对角线,,所以,即.∴高,:在作四棱锥的截面时,容易误认为截面是正三角形,如果作平等于底面一边的对称截面(过棱锥顶点,底面中心,且与底面一边平行),可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形,,解决有关几何体接切的问题,(或高或某个截面内的元素)与球半径的关系, 在球面上有四个点、、、,如果、、两两互相垂直,:,:设过、、三点的球的截面半径为,球心到该圆面的距离为,、、、四点不共面,因而是以这四个点为顶点的三棱锥(如图所示).、、互相垂直知,在面上的射影是的垂心,又,所以也是的外心,所以为等边三角形,且边长为,是其中心,,有垂直于⊙所在平面,因此、、共线,三棱锥是高为的球内接正三棱锥,,,所以,可求得,∴.说明:涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题,一般作其轴截面;涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题,一般过球心及多面体中特殊点或线作截面,把空间问题化为平面问题, 已知棱长为3的正四面体,、是棱、上的点,且,.:可用何种法求内切球半径,把分成4个小体积(如图).解:设四面体内切球半径为,球心,外接球半径,球心,连结、、、,,,.各边边长分别为,,∴.∵,,∴,∴.如图,是直角三角形,,连结,过作平面的垂线,必在此垂线上,连结、.∵,,∴,.在直角梯形中,,,,,又∵,∴,解得:.综上,四面体的内切球半径为,:,,则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上,另还须注意其球心不