罗尔定理_图文.doc

由罗尔定理知:
(1)可导函数在取得极值点处导数等于零;
(2)方程:的两根之间至少有方程:的一个根;
(3)唯一性证明。反证法:假设谬论,运用罗尔定理推出矛盾;
(4)结论可能需多次运用罗尔定理。
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂证明:(1)方程(这里为常数)在区间内不可能有两个不同
的实根;(2)方程(其中为正整数,为实数)当为偶数时至多
有两个实根,当为奇数时至多有三个实根.
证明:(1)反证法。
设有两个不同的实根,而在上连续,在内
可导,,则存在,使:。
由于,
而都不在内,即不可能存在,使,矛盾。
(2)结论成立,用反证法证明情形。
:设方程有三个实根,函数在与上分别满足罗尔定理。故存在使
,与矛盾。
:设方程有四个实根,函数在,,上分别满足罗尔定理。故存在使:
而,由于分别有两个,一个,没有不同实数,矛盾,即
为奇数时至多有三个实根。
16. 设在上连续,在内可导,且,证明:必存在
一点,使。
证明:令: ,由: ,,且:在连续
知必存在一点,使得: ,于是,在上连续,在可导,
且: ,满足罗尔定理的条件,故必存在一点,使,
即: 。
17. 设为实数,证明方程:至多有三个实根。
证明:用反证法,连续运用罗尔定理可证结论。
18. 设在上存在二阶导数,且,
证明:(1)在内;(2)至少存在一点使得:。
证明:(1)用反证法。假设存在一点,使: ,则分别在上
满足罗尔定理,则必存在一点使得: ,且:,
同理,在上满足罗尔定理,则必存在一点使得:,
与已知条件矛盾。
(2)取: ,由题设可知在上连续,在内可导,
且: ,由罗尔定理知:必存在一点,使得: ,
即: ,从而: 。
19. 设在上连续,在内可导,且对内任一点,有
,证明:在内的两个零点之间,至少有一个零点。
证明:用反证法。设在的的两个零点之间无零点,非零,
否则与矛盾,于是,设: ,在上连续,在内可导,且: ,由罗尔定理,则必存在一点使得:
,也即: ,与已知矛盾。
20. 设函数在上连续,在内可导,且,
证明:必存在使得:。
证明:因为函数在上连续,必存在最大值和最小值,于是有:
,, ,即有:
有介值定理知,必存在,使得:,
因此,在上满足罗尔定理条件,必存在使得:
21. 设函数在上连续,在内可导,且,
证明:必存在使得:。
证明:作辅助函数: ,由题设可知在上连续,在内可导,
且: ,在上满足罗尔定理条件,必存在,
使得: ,即: 。
22. 设在上存在二阶导数,且,
证明:至少存在一点,使得:。
证明:作辅助函数: ,由题设可知在上连续,在内可导,
且: ,在上满足罗尔定理条件,必存在,
使得: ,而:,可知:,
再由罗尔定理知:必存在,使得:,即: 。
23. 设函数在上连续,在内可导,且,
证明:必存在使得:。
证明:作辅助函数:,