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一笔画及多笔画深入分析————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 先讲一笔画概念:-------------------我是分割线-----------------------扩展阅读部分:哥尼斯堡城七桥问题18世纪初普鲁士的哥尼斯堡有一个公园,公园里有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如图1)。当地的市民经常从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长的时间里,始终未能解决。而利用普通数学知识,每座桥均走一次,那这七座桥所有的走法一共有7×6×5×4×3×2×1=5040种,而这么多情况,要一一试验,这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢?因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。1735年,哥尼斯堡的几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉,请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后,认真思考走法,但始终没能成功,于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的:既然陆地是桥梁的连接地点,不妨把图中被河隔开的陆地和小岛看成a、b、c、d4个点,7座桥表示成7条连接这4个点的线,如图2所示。证明图二能否一笔画及怎么画的问题即可解决哥尼斯堡城七桥问题。1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,在解答问题的同时,开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。也由此展开了数学史上的新历程。欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为“欧拉定理”。-------------------我是分割线-----------------------一笔画问题探讨先说明几个定义:奇结点:有奇数条边的点称为奇结点。偶结点:有偶数条边的点称为偶结点。例如图三中:A有3条边,是奇结点;B有3条边,是奇结点;C有2条边,是偶结点;D有2条边,是偶结点;E有3条边,是奇结点;F有3条边,是奇结点;G有4条边,是偶结点;这个图有4个奇结点,3个偶结点。凡是能一笔画的图,我们称之为欧拉图。欧拉图有以下3个特点:欧拉图必须是连通图。连通就是说任意两个点之间可以找到一条直接连接或经由其它点连接它们的线。例如图三就是个联通图,以下图四,由⊿ABC和⊿DEF构成的一个图就不是联通图。,是欧拉图。(也可以没有偶结点),只有两个奇结点的连通图,是欧拉图。,图不联通,肯定也就不能一笔画了。例如图四是怎么都无法一笔画的(2个三角形之间没有连接线,当然不联通啦,也就不能一笔画啦)。:我们来看图五图五是个欧拉图,图中仅有一个点A,A既是图的起点又是图的终点,对A来说它有两条边,A是个偶结点。看图六图六是个欧拉图,图中有两个点,A和B,其中一个是起点,则另一个必是终点。A和B都是奇结点。看图七图七是个欧拉图。我们现在只看C点