东北大学2011年数学建模论文解答解读.doc

本论文通过上网查找事故发生地的实际情况,结合公路设计的标准要求,忽略次要因素,对于问题一,建立了基于分析汽车在弯道内侧滑的条件的公路含理性模型,计算出汽车在弯道内行驶最容易发生事故的点和进入弯道而不发生事故的最大速度口。对于问题二,设计缓和曲线,建立了缓和曲线的曲线方程模型,使汽车通过缓和曲线能从直道平滑的过渡到弯道。对于问题一,首先,通过在google地图上取点,描绘出事故多发地弯道的曲线形状,将屏幕坐标点转化为实际道路情况坐标点。其次,对得到的反映实际路况的一系列坐标点进行Hermite插值处理,并将处理后的点拟合成一个多项式函数。再次,通过分析汽车入弯后行驶时的情况得出发生侧滑的条件。最后,考虑汽车在弯道上每一点行驶的滚动摩擦力,结合己经分析得出的侧滑条件,计算得出在弯道上最容易发生事故的点的坐标,并求出该点对应的进入弯道的初始速度的值,这个值就是能顺利过弯而不发生事故的速度最大值。/h即超过此速度后汽车在弯道内一定会发生事敌。对于问题二,由于不要求成本最低,则假设不能改变s型弯道的形状,依据问题一的结论,在不改变弯道形状的前提下,通过设计缓和曲线使汽车安全过弯,缓和曲线作用主要有两点,一是提示司机前方有弯,需减速至60km/h以下,二是使汽车车头能平滑的转动至弯道切线方向,而不因为车头转动过快使汽车失去控制。缓和曲线的设计通过对缓和曲线的要求推导出霍尔布鲁克螺线(回旋线)模型,根据要求改变道路成本最低,确定处缓和曲线的最小长度,通过最小长度确定回旋线的参数。求解缓和曲线方程式,通过转化,近似,将此问题转化为求解一个带初值的二阶微分方程的问题,微分方程为:此微分方程无法求得解折解,因此采用计算出其在设置缓和曲线范围内的一系列数位解,之后通过最小二乘法对缓和曲线方程做拟合的方法近似计算缓和曲线方程。论文中图七为缓和曲线与弯道连接的示意图。关键词:Hermite插值,最小二乘法拟合,滚动摩擦力,缓和曲线,霍尔布鲁克螺线〔回旋线),微分方程数值解。二问题重述2010年 5月25日,广元市利州区宝轮镇街道上,一辆拉砖的货车一头撞进路边居民房内,司机受伤,所幸没造成楼房内人员伤亡。28日,住在此路段的居民张建东反映,发生车祸的下坡路段设计不合理,通车以来,已发生大大小小几十起交通事故,造成多人死伤, 公路通车后房屋已4次被撞, 通车前的2008年11月28日,在24小时内就连续发生了3起事故。该段道路的上段是近2公里的长坡,到出事路段时,则是一段S形的急弯陡坡路。“这一段公路至少都有40多米宽,是宝轮的形象公路。”张建东来到宝白公路另一端说,他家门口的公路,却因为建了一座“山珍大厦”,将整个道路差不多占去一半,该大厦同时将往宝轮方向行驶的车辆的视线完全挡住。“我们认为这段路设计上有问题,以前这里就是一块平地,本来可以建成没有坡的道路,现在却是原没有坡的拱了个坡,没有弯的造了个弯。”附近居民说,行驶至该路段的驾驶员被前方十字路口的建筑挡住视线,驶过此路段的车辆车速都很快,一下坡就遇到红绿灯,根本来不及刹车。在题目给定的条件下,同学们可自行设计符合题意的情景,建立你的数学模型:(1)说明道路设计是否合理;(2)如道路设计不合理需要如何修改设计在最小成本的情况下得到最大改善。三模型假设1、汽车在下坡时不知道前方有急弯。汽车在不知情情况下沿下坡路段一直加速。2、当汽车发现红绿灯时立即刹车减速,并开始过弯。汽车进入弯道为平滑入弯,即是沿弯道的切线方向进入弯道的口3、汽车的转弯半径约等于弯道的曲率半径。4、假设汽车发生的事故只有侧滑而没有侧翻的情况,即当失去平衡时汽车四轮没有离开地面二5、认为只要侧滑就为发生事故。四问题分析通过查阅gongle地图中当地地形的实际情况的卫星视图可清楚的看到事故发生路段的地形情况,事故所发生路段为一个直道下坡之后接一个S型弯道如下图所示:图片一:事故发生地地形示意图结合gnogle地图中的地形和照片中的路口实际情况,分析事故发生的原因可以推断,汽车行驶经过下坡路段后,车速达到较大的值,在不知道前方有弯道和红绿灯的情况下,不会减速刹车。遇到红绿灯后汽车刹布过弯,但已经来不及将速度降低到正常过弯的情况。由于离心力的作用,导致汽车失去控制,发生事故。分析道路设计是否合理即可转化为分析汽车以一定速度从坡道上行驶下来后不发生事故的最大速度的问题。改良公路线型使汽车能平滑入弯。第一步,通过取点将入弯段得公路弯道曲线离散化,用Hermite插值对所取离散的点进行插值处理,之后用最小二乘法拟含出在入弯处得公路曲线的函数。第二步,结合第一步所得的函数,计算在入弯处的函数在此点的曲率半径,结合牛顿力学进行分析,得出实际允许的最大速度,与实际情况比