数模理论.doc

一. 基本概念1. 灰数的概念在灰色系统中,灰数(或灰色数)是指信息不完全的数,例如:“那人的身高约为170cm、体重大致为60kg”,这里的“(约为)170(cm)”、“60”都是灰数,分别记为、。又如,“那女孩身高在157-160cm之间”,则关于身高的灰数。记为灰数的白化默认数,简称白化数,则灰数为白化数的全体。灰数有离散灰数(属于离散集)和连续灰数(属于某一区间)。灰数的运算符合集合运算规律。2. 灰色生成数列在灰色系统理论中,把随机变量看成灰数,即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律,通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列,以此来研究寻找数据的规律性,这种方法称为数据的生成。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。(1) 累加生成把数列各项(时刻)数据依次累加的过程称为累加生成过程(AccumulatedGeneratingOperation,简称AGO)。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为,令称所得到的新数列为数列的1次累加生成数列。类似地有,称为的次累加生成数列。(2) 累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程(IAGO)。如果原始数据列为,令称所得到的数列为的1次累减生成数列。注:从这里的记号也可以看到,从原始数列,得到新数列,再通过累减生成可以还原出原始数列。实际运用中在数列的基础上预测出,通过累减生成得到预测数列。(3) 加权邻值生成设原始数列为,称为数列的邻值,为后邻值,为前邻值。对于常数,令由此得到的数列称为数列在权下的邻值生成数,权也称为生成系数。特别地,当生成系数时,则称为均值生成数,也称等权邻值生成数。二. 灰色模型GM灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程,进而利用离散数据列建立微分方程形式的动态模型,由于这是本征灰色系统的基本模型,它是近似的、非惟一的,称为灰色模型(GM)。1. GM(1,1)模型设为原始数列,其1次累加生成数列为,其中定义的灰导数为令为数列的邻值生成数列,即于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为即(1)在式(1)中,称为灰导数,称为发展系数,称为白化背景值,称为灰作用量。将时刻代入(1)式有(1)’引入矩阵向量记号:,,数据向量参数向量数据矩阵于是GM(1,1)模型可表示为现在问题归结为求的值。用一元线性回归,即最小二乘法求它们的估计值为注:实际上回归分析中求估计值是用软件计算的,有标准程序求解,matlab,excel都可以。对于GM(1,1)的灰微分方程(1),如果将灰导数的时刻视为连续变量,则视为时间的函数,于是对应于导数,让背景值对应于导数。于是GM(1,1)的灰微分方程对于的白微分方程为(2)称之为GM(1,1)的白化型。(2)以初值的解为注:GM(1,1)的白化型(2)并不是由(1)直接推导出来的,仅仅是一种“借用”或“白化默认”。所以从GM(1,1)的白化型推导出来的结果,要在不与定义矛盾的情形下才成立。后面我们会看到,对数据列有要求。2. GM(1,N)模型当系统有个行为因子,即个灰色变量,这时可以建立M(1,N)模型。设原始数列为记为的1次累加生成数列,的等权邻值邻值生成数列为,即于是得GM(1,N)的灰微分方程模