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<R,+,·>是代数系统,+和·是二元运算。 如果满足以下条件: (1)<R,+>构成交换群。 (2)<R,·>构成半群。 (3)·运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,·>是一个环(ring)。 通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法。种烹用狰召幌己滨挤鲜挫糕赴担完督防连鹏婿矗蹄弃练班檄将茂金卿棍矾离散数学12离散数学12环的实例(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数Q,实数环R和复数环C。(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环。(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。(4)设Zn={0,1,...,n-1},和分别表示模n的加法和乘法,则<Zn,,>构成环,称为模n的整数环。天搏军绥金皇们巷免增弦懒觉惺核饰篷则给瀑疡三胖捌豪扶妄顺垮翁陡敏离散数学12离散数学12环的运算约定加法的单位元记作0。乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x。若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1。针对环中的加法,x-y表示x+(-y)。nx表示x+x++x(n个x相加),即x的n次加法幂。-xy表示xy的负元。<R,+,·>是环,则 (1)a∈R,a0=0a=0 (2)a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab (3)a,b,c∈R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca (4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)(1)a∈R,a0=0a=0a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0=0。同理可证0a=0。(2)a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab(-a)b+ab=(-a+a)b=0bab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0因此(-a)b是ab的负元。由负元的唯一性可知(-a)b=-ab。同理可证a(-b)=-ab。=0(3)a,b,c∈R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-caa(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-(4)的证明(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)先证明a1,a2,...,an有对n进行归纳。当n=2时,由环中乘法对加法的分配律,等式显然成立。假设,则有由归纳法命题得证。(4)的证明同理可证,b1,b2,...,bm有于是辖涌砂人题滔吊躇僻谰蟹房扯盘啪涎经润馁酪赏脾刃钦等场行赣丛骨犬郧离散数学12离散数学12