求数列通项公式的常用方法（由数列的递推关系求数列通项公式方法总结）.doc

求数列通项公式的常用方法（由数列的递推关系求数列通项公式方法总结）.DOC由递推关系求数列通项问题一“不动点”法由递推公式求英数列通项历来是高考的重点和热点题型,对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,“不动点”决定着递推数列的增减情况,因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果,来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中,不断总结探究反思,对那些难求通项的数列综合问题,形成利用函数不动点知识探究的规律性总结,,设/(X)的定义域为Q,若存在x0€D,使成立,则称为的不动点,或称(勺,心)为图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1设/(x)=ax+6(a#ftl),且为的不动点,满足递推关系=7(^.0,力=2,3,…,证明是公比为3的等比数列。证:・・•是的不动点,所以,所以,所以,・・・数列是公比为a的等比数列。例1已知数列{aj的前力项和为且$二刀-5。厂85,nelT(1)证明:{务-1}是等比数列;(2)求数列{$}的通项公式,并求出使得—>%成立的最小正整数”.证:(1)当n=l时,0=—14;当n>2时,臼尸S〃—S-=—5/+5芯】+1,即=勿日+19工2)即务= (力22),记/(力二■|x+2‘令/(x)=x,求出不动点x0=l,由定理1知:6666-1= -1)(«>2),又曰l1=-15丸,所以数列{—1}是等比数列。(2)解略。63 求非线性递推数列的通项定理2设/«=——(chO,加-氐工0),且是的不动点,数列满足递推关系,力=2,3,…,cx+d‘记/(x)=2_x丄4“】+丄"1盼1S-1所以数列•:是公差为-1的等差数列,所以$=(i)若,则数列是公比为的等比数列;(ii)= 则数列是公差为二>的等差a+a数列。ax.^b证宀)由题设知內+厂丙Obdx\二 odx、一b=©-CX0xx;a-cxj同理dx2-b=(a-cx^)(a-cx^)aM+b-dxx_a-ax-xx•_(a-cxg+b-%_a-cx2-x2'所以数列是公比为的等比数列。(ii)由题设知=x的解为Xj=x2=x0, .••且=。所以1_1 ca“dcax+d ca池七d如-x0"L”■Ao(a~cxQ)ax+b-dx^caxa-cx^. a_dca9-cXo+N+cAqc十d+u心 1d+c・ 1C 1-= + J (a-cx0)(ax-x0)a-CAoa-cx^ax-z0a-%a_ca_daw-x0ITcl 12c 2c= + = +—T7,所以数列是公差为一的等差数列。a_”o务 a+d a^d例2设数列{务}的前”项和为S*,且方程x-a,=0有一根为S*-l 。求数列{aj的通项公式。10~~解:依题=-,且(Sj,-1)-ax•(^-1)- =0,将ax=Sn-代入上式,得乙令/(x)=x,求出不动点x0=l,由定理2(ii)知:因此数列{oj的通项公式为乙=—例3已知数列{务}中,如=1,。“ 1(I)设c=|a=—7T,求数列{"}的通项公式.(II)求使不等式冬泅<3成立的c的解:(I)依题a»*l=l"~=5a,~2由定理2(i)知:5x_2 1~"—令J(x)=x,求出不动点可=二■兀2=2;2x 21 1 1a.-22务_2二1两式相除得到 "4如~