线性回归分析教案.doc

线性回归分析教案.doc:..线性冋归分析管理中经常要研究变量与变量之间的关系,并据以做出决策。前面介绍的检验可以确定两个变量Z间是否存在着某种统计关系,但是如果检验说明两个变量之间存在着某种关系,我们述是不能说明它们之间究竟存在什么样的关系。本章介绍的冋归分析能够确定两个变量之间的具体关系和这种关系的强度。冋归分析以对一种变量同其他变量相互关系的过去的观察值为基础,并在某种精确度下,预测未知变量的值。社会经济现象中的许多变量Z间存在着因果关系。这些变量Z间的关系一般町以分为两类:一类是变量之间存在着完全确定的关系,叩一个变量能被一个或若干个其他变量按某种规律唯一地确定,例如,在价格P确定的条件下,销售收入Y与所销售的产品数量之间的关系就是一种确定性的关系:Y=P・X。另一•类是变量之间存在着某种程度的不确定关系。例如,粮食产量与施肥量之间的关系就属于这种关系。一般地说,施肥多产量就高,但是,即使是在相邻的地块,采用同样的种子,施相同的肥料,粮食产量仍会冇所差异。统计上我们把这种不确定关系称为相关关系。确定性关系和相关关系之间往往没有严格的界限。由于测量谋差等原因,确定性关系在实际屮往往通过相关关系表现出来;另一方而,通过对事物内部发展变化规律的更深刻的认识,相关关系乂可能转化为确定性关系。两个相关的变量Z间的相关关系尽管是不确定的,但是我们可以通过对现象的不断观察,探索出它们Z间的统计规律性。对这类统计规律性的研究就称为回归分析。回归分析研究的主要内容有:确定变量Z间的相关关系和相关程度,建立回归模型,检验变量之间的相关程度,应用回归模型进行佔计和预测等。第一节一元线性回归分析一、问题的由来和一元线性回归模型例7・1。某地区的人均月收入与同期某种耐用消费品的销售额之间的统计资料如表7・1所示。现要求确定两者Z间是否存在相关关系。表7・(白万元),以人均收入兀•为横轴,销售额兀为纵轴,把表7-1中的数据虺在这个坐标系上,我们可以看出两者的变化有近似于直线的关系,因此,可以用一元线性回归方程,以人均收入为口变量,以销售额为因变量来描述它们之间的关系。即:y.=a+bxi+ei (z=1,2,A,/?)其中:)】•是因变量Y的第i个观察值,旺是自变量X的第i个观察值a与b是回归系数,n是样本容量,,这是一个随机变量。在上述线性模型中,口变屋X是个非随机变量,对于X的笫i个观察值石,Y的观察值必是由两个部分所纟R成的:“兀和《,前者是一个常数,厉者是一个随机变量,所以也是一个随机变量。对于上述I叫归模型小的随机误差©要求满足如下的假设条件:1、 应当是服从止态分布的随机变量,即耳满足“止态性”的假设。2、 q的均值为零,即E(q)=O,我们称弓•满足“无偏性”的假设。3、 耳的方差等于,(勺)=€「,这就是说,所有的匕分布的方差都和同,即满足“共方差性”的假设。4、 各个©间相互独立,即对于任何两个随机误差耳和勺(心丿)其协方差等于零,即,Cov(q,勺)=0,0工丿))这称Z为满足“独立性”的假设。综上所述,随机误差必须服从独立的相同分布。基于上述假定,随机变量的数学期望和方差分别是:E(yi)=a+bi2由此: )[•〜N(a+)这就意味着,当X二兀时,X是一个服从正态分布的随机变量的某一个取值。如果不考虑式中的误差项,我们就得到简单的式子:貝=a+h无这一式子称为Y对X的冋归方程。依据这一方程在直角坐标系屮所作的直线就称为冋归直线。二、模型参数的估计和估计平均误差1、冋归参数的估计回归模型中的参数Q与b在一般情况下都是未知数,必须根据样本数据(£,)[•)來佔计。确定参数a与b值的原则是要使得样本的冋归直线同观察值的拟合状态最好,即要使得偏差最小。为此,可以采用“最小二乘法”的办法来解决。对应于每一个旺,根据回归直线方程(7・1)可以求出一个冃,它就是X的一个估计值。佔计值和观察值Z间的偏差©=(片一冃)。有n个观察值就有相应的n个偏差。要使模型的拟合状态最好,就是说要使n个偏差的总和最小。但为了计算方便起见,我们以误差的平方和最小为标准來确立回归模型。这就要求n2„2-目)=£(%-。-九)i=l i=l是个极小值。根据微积分屮的极值定理,要使上式取极值,其对Q与b所求的偏导数应为0,即=一2工(X -九)=0=_2工(片_a_bx)七=0经整理后可得:XX=na+b工兀工X』