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第四章不定积分Integration第四章第四章不定积分不定积分IntegrationIntegration第一节、不定积分的概念和性质第一节、不定积分的概念和性质第二节、换元积分法和分部积分法第二节、换元积分法和分部积分法第三节、有理式积分法第三节、有理式积分法第一节不定积分的概念和性质?原函数和不定积分的概念?不定积分的几何意义?不定积分的性质?不定积分的基本公式及线性运算法则例??xxcossin??xsin是xcos的原函数.??)0(1ln???xxxxln是x1在区间),0(??,定义:可导函数)(xF的即Ix??,都有)()(xfxF??或dxxfxdF)()(?,那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf,或dxxf)(、原函数与不定积分的概念原函数存在定理:如果函数)(xf在区间I内连续,简言之::(1) 原函数是否唯一?例??xxcossin????xCxcossin???(为任意常数)C那么在区间I内存在可导函数)(xF,使Ix??,都有)()(xfxF??.(2) 若不唯一它们之间有什么联系?关于原函数的说明:(1)若,则对于任意常数,)()(xfxF??CCxF?)(都是)(xf的原函数.(2)若和都是的原函数,)(xF)(xG)(xf则CxGxF??)()((为任意常数)C证??)()()()(xGxFxGxF???????0)()(???xfxfCxGxF???)()((为任意常数)C任意常数积分号被积函数不定积分的定义:在区间I内,CxFdxxf???)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分,记为?dxxf)(.?解,656xx?????????.665Cxdxx??????dxx??,11arctan2xx????.arctan112?????Cxdxx例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,),(xfy?根据题意知,2xdxdy?即)(xf是x2的一个原函数.,22???Cxxdx?,)(2Cxxf???由曲线通过点(1,2),1????xy几何意义:函数f(x)的不定积分是一族积分曲线(在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线,切线相互平行,其斜率都是f(x))?)dxf(xxxxxyyoocxFy??)()(xFy?二、不定积分的几何意义由不定积分的定义,可知??),()(xfdxxfdxd??,)(])([dxxfdxxfd??,)()(????CxFdxxF.)()(???CxFxdF结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的.