高等数学 ch7.4-7.5 ppt课件.ppt

平面及其方程本节主要内容:(1)平面的法向量;平面的点法式方程;(2) 平面的一般式方程; (3) 平面在空间的位置; (4) 点到平面的距离。 . 1平面的方程定义:称与平面垂直的空间非零向量为平面的法向量;设平面的法向量为),,(CBAn??,且过点),,(0000zyxM0MnM????设),,(??nMM?代入向量的坐标,得平面的点法式方程;0)()()(000??????zzCyyBxxA?则1。平面的点法式方程;。。。。。(1), ,A D 0A; (1)2) , , , A D 0x y zx By CzB C x By Cz? ???? ???空间任意平面可由的一次方程表示当不全为零时方程定理(确定一平面证明(1)由方程得0 0 0( ) 0Ax By Cz Ax By Cz? ?????0 0 0( ) DAx By Cz? ???0)()()(000??????zzCyyBxxAD 0Ax By Cz? ???……………(2)此称为平面的一般方程则得若令0MnMA, , , A 0A D 0B Cx By Cz?? ???当不全为零时不妨设,则由方程有:(2 )????DA 0 0 0Ax B y C z? ?? ?????? ?? ???n A, ,B C这是以=为法向量, D0, 0 AA D 0x By Cz? ?? ?? ?? ???且过点- , 的平面方程,因此:)3,2,1(0??M,且分别与两平面0432????zyx,0322????zyx垂直,?n?)8,6,5()2,1,2()1,3,2(?????n?0)3(8)2(6)1(5??????zyx即017865????zyx解: 设所求平面的法向量为则与向量(2,-3,1)及(2,1,-2) 平面在空间的位置(1)若A=0 ,则平面平行Ox轴,同样若B=0,或C=0,平面分别平行Oy轴和Oz轴.(2) 若D=0 则平面过原点.(3) 若A=0,且D=0, =0,D=0(C=0,D=0)平面分别过oy轴(oz轴)(4) 若A=B=0,则平面平行于xoy平面;若A=C=0,则平面平行于xoz平面若B=C=0, 设平面通过Ox轴和点,??CzBy)1,3,4(0??M解: 由于所求平面通过Ox轴,则平面平行Ox轴且过原点O,因此A=D=0,故设所求平面方程为)1,3,4(0??M0C3B???则令B=1,得C=又点在平面上,代入方程有所求平面的方程为03??zy3?,: 由于所求平面通过Ox轴,则平面平行Ox轴,且过原点O(0,0,0)故所求平面法向量n满足;03245????zyx??,0,0,1n?03245????zyx??5,-4,-2n?又由于所求平面垂直于平面故所求平面法向量n还满足;所求平面的方程为0420)0(4)02(0)(0?????????zyzyx所求平面的方程的法向量为:??????4,2,04k2j245001kji24,5,0,0,1n??????????? 设平面通过三点其中a,b,c君不为零,求该平面的方程.)0,0,a(A)0,,0(,bB),0,0(,cC解:设所求平面的方程为:由于平面过点A,B,C,故A,B,C满足平面方程,代入点的坐标有0D????CzByAx???????????????????????????BbDAa00D0