复变函数与积分变换公式.doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________复变函数与积分变换公式复变函数复习提纲(一):,是实数,..注:)模:;2)幅角:在时,矢量与轴正向的夹角,记为(多值函数);主值是位于中的幅角。3)与之间的关系如下:当;当;4)三角表示:,其中;注:中间一定是“+”号。5)指数表示:,其中。(二):若,:1)若,则;。2)若,则;,则。若,则(有个相异的值)(三):,)指数函数:,在平面处处可导,处处解析;且。注:是以为周期的周期函数。(注意与实函数不同)对数函数:(多值函数);主值:。(单值函数)的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且;注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)3)乘幂与幂函数:;注:在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且。4)三角函数:在平面内解析,且注:有界性不再成立;(与实函数不同)双曲函数;奇函数,是偶函数。在平面内解析,且。(四))点可导:=;2)区域可导:在区域内点点可导。)点解析:在及其的邻域内可导,称在点解析;2)区域解析:在区域内每一点解析,称在区域内解析;3)若在点不解析,称为的奇点;:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五):在可导和在可微,且在处满足条件:此时,有。:在区域内解析和在在内可微,且满足条件:;此时。注:若在区域具有一阶连续偏导数,则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时,函数一定是可导或解析的。)利用定义(题目要求用定义,如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以形式给出,如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数是以的形式给出,如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质复变函数积分的概念:,是光滑曲线。注:复变函数的积分实际是复平面上的线积分。复变函数积分的性质(与的方向相反);是常数;3)若曲线由与连接而成,则。)化为线积分:;(常用于理论证明)2)参数方法:设曲线:,其中对应曲线的起点,对应曲线的终点,则。(七)—古萨基本定理:设在单连域内解析,为内任一闭曲线,:设在多连域内解析,为内任意一条简单闭曲线,是内的简单闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以为边界的区域全含于内,则①其中与均取正向;②,其中由及所组成的复合闭路。:一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分,不因在内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。:设在单连域内解析,为在内的一个原函数,则说明:解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式:设在区域内解析,为内任一正向简单闭曲线,的内部完全属于,为内任意一点,:解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于。:。(是包含的任意正向简单闭曲线))若在区域内处处不解析,用一般积分法2)设在区域内解析,是内一条正向简单闭曲线,则由柯西—古萨定理,是内的一条非闭曲线,对应曲线的起点和终点,则有3)设在区域内不解析曲线内仅有一个奇点:(在内解析)曲线内有多于一个奇点:(内只有一个奇点)或:(留数基本定理)若被积函数不能表示成,则须改用第五章留数定理来计算。(八):若二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足,为内的调和函数。,并称虚部为实部的共轭调和函数。两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数;但是若如果满足柯西—黎曼方程,则一定是解析函数。,求解析函数的方法。1)偏微分法:若已知实部,利用条件,得;对两边积分,得(*)再对(*)式两边对求偏导,得(**)由条件,,得,可求出;代入(*)式,可求得虚部。2)线积分法:若已知实部,利用条件可得,故虚部为;由于该积分与路径无关,可选取简单路径(如折线)计算它,其中与是解析区域中