函数单调性的判断或证明方法.doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)向有利于判断差值符号的方向变形;④定号,判断的正负符号,当符号不确定时,应分类讨论;⑤下结论,根据函数单调性的定义下结论。(-1,+∞)上的单调性,:设-1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==∵-1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.∴当a>0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数y=f(x)在(-1,+∞)<0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴函数y=f(x)在(-1,+∞);在上为减函数。(增两端,减中间)证明:设,则因为,所以,所以,所以所以设则,因为,所以,所以所以同理,可得运算性质法.①在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.(增+增=增;减+减=减;增-减=增,减-增=减)②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。⑤运用已知结论,直接判断函数的单调性,如一次函数、反比例函数等。(3)。。解:在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.(4)复合函数法.(步骤:①求函数的定义域;②分解复合函数;③判断内、外层函数的单调性;④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间,则便是原复合函数的一个单调区间,如例4;若不是内层函数的一个单调区间,则需把划分成内层函数的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间,如例5.)设,,都是单调函数,则在上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表:;易知是外层函数的单调增区间;令,解得的取值范围为;由于是内层函数的一个单调减区间,于是便是原函数的一个单调区间;根据复合函数“同增异减”的复合原则知,是原函数的单调减区间。;易知和都是外层函数的单调减区间;令,解得的取值范围为;结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间,但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和,其中是其单