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利用微积分证明不等式余建生指导教师:吴晓摘要对于不等式证明的方法有很多,利用微积分的知识来证明不失为一个简单易掌握的方法,本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例,对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳。关键词不等式;导数;,数形结合的思想,转化的思想,类比的思想,分类讨论思想,,,求导证明,,是教学的一个重点,也是学习的一个难点,本文应用微积分的有关概念,定理,结合典型实例,(拉格朗日中值定理证明不等式定理1[1]若函数f满足如下条件:(ⅰf在闭区间[,]ab上连续,(ⅱf在开区间(,ab内可导,则在(,ab内至少存在一点ξ,使得'(((fbfafbaξ-=-这里没有给出ξ的确切位置,而对于不等式而言,,这时的关键是选择(fx及区间[,]<≤,试证lnabaababb--≤≤.证设(lnfxx=.当0ba<≤时,(fx在[,]ba上满足拉格朗日中值定理,所以1lnln(abfabξξ-'==-(baξ<≤,而111abξ≤≤(0ba<≤,1lnln1abaabb-≤≤-.lnlnabababab--≤-≤,于是lnabaababb--≤≤.>0,试证:ln(11xxxx<+<+.证设(ln(1fxx=+(0x>,因(fx在[0,]x上满足拉格朗日中值定理,1ln(1ln(10ln(1(10xxfxxξξ+-++'===+-<+<+,11111xξ<<++于是1ln(111xxx+⇔<<+.即ln(11xxxx<+<+.利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点(,abξ∈”,即abξ<<来确定不等式关系,关键是根据'(((fbfafbaξ-=-对照要证的不等式来确定函数(fx和区间[,],[2]设函数在区间[,]ab上可导,如果对任意的(,xab∈,恒有(0fx'>(或(0fx'<则f(x在(,ab内单调增加([3]证明不等式2ln(12xxxx-<+<,其中0(ln(1xgxxx>=+-(i设2(ln(12xfxxx=--+.当x>0时,21(1011xfxxxx'=--=-<++.(fx∴∞在(0,+单调减少.(00f=又2((0,ln(12xfxfxx∴<-<+即.(ii(ln(1gxxx=+-设当101xx'-=-<+1x>0时,g(x=1+x,((0,gx∴+∞在单调递减.((0,((0,gxggx∴<+∞(10xxx+-<即,20,ln(12xxxxx>-<+<[4]证明:30,sin3!xxxx≥≥-(sin3!xfxxx-+=.2(cos12xfxx'∴-+=.(无法判断(fx'的符号(sinfxxx''=+又0sinxxx≥≤而时(0fx''≥0x=(只当时等号成立.((0,fx'+∞