高中数学竞赛讲义完美数学高考指导(一).docx

高中数学竞赛讲义完美数学高考指导(一).docx高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(_)高中数学竞赛讲义(一)——集合与简易逻辑一、基础知识定义1一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合屮的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素求在集合A屮,称*属于A,记为否则称%不属于A,记作K老例如,通常用N,Z,Q,B,0分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用0来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,女际1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},(本>®分别表示有理数集和正实数集。定义2子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,则A叫做B的子集,记为例如规定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,则称A与B相等。如果A是3的子集,而且B中存在元素不属于A,则人叫B的真子集。定义3交集,Ji"B=(x|xe ,撤”=0|"曲"册・定义5补集,若牝”*&4砂"・弘參4}称为人在/中的补集。定义6差集,血―"",且^叭定义7集合记作开区间(^),集合<M记作闭区间[耐D],r记作定理1集合的性质:对任意集合4,B,C,有:(1)An(fiuc)=wn#)uwnc):⑵xu(£nc)=(Au«nwuc);(3)clzuc15=cl(jin^(4)cjAncla=c1cAU«L【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。(1)若fieUC),则貳亡4,且或xfC,所以“nQ或 ,即xe门仍uano;反之,Hans)uanc),则”(川1町或壮***@nc),即;且毗必或施匚,即喜wz且”(*uc),即zeXnC^UQ-(3)若,则*2A或所以jJ或才电必,所以X电(/RID),又xef,所以x^c^An习,即qjtuq/uqsna),反之也有G“n可匚cmugn定理2加法原理:做一件事有/I类办法,第一类办法屮有用'种不同的方法,第二类办法中有用久种不同的方法,…,第R类办法屮有■■种不同的方法,那么完成这件事一共有*=«>+«>+•»+».种不同的方法。定理3乘法原理:做一件事分屈个步骤,第一步有豪1种不同的方法,第二步有曲2种不同的方法,…,第怎步有叫种不同的方法,那么完成这件事一共有*=*1*1••…叫种不同的方法。二、方法与例题利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。例1设^=(+=^-/^€Z)求证:(1) 2*-le^.(*eZi;(2) 4*-2e^C(*eZ);(3) 若pwiCee",则Aredf.[证明](1)因为匕上一2名,且2*-l=「一(fc-D力,所以2i-1cM.⑵假设4*-2€ 则存在2訂,使4上-2=/-屛,由于x-y和才2有相同的奇偶性,所以= 丿)是奇数或4的倍数,不可能等于4上一2,假设不成立,所以4Jb-2eM(3)设P=^ eZ,则W=to*- 1-A1)=<rV+jrV-&-pF=g-対-3-Meif(-o利用子集的定义证明集合相等,先证 ,再证B^Ay则例2设A,3是两个集合,又设集合M满足Af\i£=Br\i£=ADEjIUBU就二乂U〃,求集合m(用a,b表示)。【解】先证sn@)uM,若n〃),因为“=▲n号所以纂"门就山€聲,所以snqum;再证Muatflfi),若xeif,则xeA{jBUM=AUB.\)若赛亡/,则xeJiC}M=)若xefl,则jrean^=^nflo所以“uans综上,M=。例3Z=(«|ra-3x+2=l5,J=(4rJ-«+<i-l=Q),C=(«|?-«r+2=0)若AUfl=A^nc=<7,求<m«【解】依题设,4=亿2},再由F-ox-l-<s-l=0解得x=a-l或x=l,因为所以«gA,所以a-l€A,所以a-l=1或2,所以«=2或3。因为XOC=C,所以(7匚4,若(7=0,则A=«a-8<0,即-McecM,若(7*0,贝ijte(7或2e(7,解得«=3综上所述,<i=2或<i=3;m=3^—2/42<m<2^^o计数原理的应用。例4集合A,B,C是Z={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若A\jB=Jf求有序集合对(A,B)的个数;(2)求/的非空真子集的个数。【解】(1)集合/可划分为三个不相交的子集;AW,B\A, 中的每个元素恰属于其中一个子集,10个元素共有3】°种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合对有3】°个。(2) /的子集分三类:空集,非空真子集,集合/本身,确定一个子集分十步,第一步,1或者属