求递推数列通项公式求和的常用方法.doc

求递推数列通项公式的常用方法一公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有1nnnaSS-=-(2n≥,等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}na的前n项和为nS,并且*1(nnaSnN+=∈,求{}na的通项公式?反思:利用相关数列{}na与{}nS的关系:11aS=,1nnnaSS-=-(2n≥与提设条件,建立递推关系,{}na的前n项和nS,满足关系(1lgnSn+=(1,2n=⋅⋅⋅.试证数列{}:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性,{}na中,11a=,121(2nnaan-=+≥,求数列{}:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,{}na是正数组成的数列,其前n项和为nS,并且对于所有自然数n,na与1的等差中项等于nS与1的等比中项,求数列{}:利用1211((nnnaaaaaa-=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1(nnaafn+=+的递推数列通项公式的基本方法((fn可求前n项和).例三已知无穷数列{}na的的通项公式是12nna⎛⎫=⎪⎝⎭,若数列{}nb满足11b=,(1n≥,求数列{}:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1(nnaafn+=+.=,112nnnaa+⎛⎫=+⎪⎝⎭*(nN∈,求数列{}:利用恒等式321121(0,2nnnnaaaaaanaaa-=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:1(nnagna+=的递推数列通项公式的基本方法(数列(=,1(nnnanaa+=-*(nN∈,求数列{}:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1(nnagna+=.{}na满足11a=,123123(1(2nnaaaanan-=+++⋅⋅⋅+-≥.则{}:类型1(1nfaann+=+解法:把原递推公式转化为(1nfaann=-+,利用累加法(逐差相加法求解。例1:已知数列{}na满足211=a,nnaann++=+211,求na。类型2nnanfa(1=+解法:把原递推公式转化为(1nfaann=+,利用累乘法(逐商相乘法求解。例2:已知数列{}na满足321=a,nnanna11+=+,求na。例3:已知31=a,nnanna23131+-=+1(≥n,求na。变式:(2004,全国I,)已知数列{an},满足a1=1,13211(32--+⋅⋅⋅+++=nnanaaaa(n≥2,则{an}的通项1___na⎧=⎨⎩12nn=≥类型3qpaann+=+1(其中p,q均为常数,01((≠-ppq)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:(1taptann-=-+,其中pqt-=1,再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列{}na中,11=a,321+=+nnaa,:(2006,重庆,文,14)在数列{}na中,若111,23(