二十世纪重大科技谋略
希尔伯特善提问数学王国领风骚
年,第二届国际数学家大会在巴黎召开,德国数学家希尔伯特受邀
在大会上发言。这是个崇高的荣誉,它在一定程度上确认了希尔伯特在数学
界的领导地位。发什么言好呢?他曾经想到作一个为纯粹数学辩护的演讲,
以冲淡由于第一届大会上法国数学家庞加莱过份强调应用数学而造成的某种
不协调气氛,但他更强烈地感到,在世纪之初,“最有意义的题材莫过于展
望未来,提出新世纪里数学所需解决的问题。”于是,他把演讲主题改为对
新世纪数学发展方向的探讨。为了准备讲稿,希尔伯特足足花了半年多的时
间。月日,这位岁的演讲者以十分高昂的姿态作了数学史上著名的《数
学问题》的报告。在报告中,他共提出了个数学问题,后来统称为希尔伯
特问题,它指出了未来数学的发展方向。围绕着这些问题的解决形成了许多
新的数学分支,对世纪的数学研究产生了极其重大而深远的影响。
希尔伯特在学术生涯中迈出的第一步是彻底解决了数学上的果尔丹问
题。
果尔丹问题的一般叙述为:是否存在一组基(即一组个数有限的不变
量),使得其他所有的不变量(尽管它们的个数有无穷多)都能够用这组基
的有理整式表示出来?一个更简捷的叙述是:任何给定次数的元型的基(或
有限完备系)的存在性。
年,果尔丹曾经解决了二元型不变式有限基的存在性。当时他为此
获得了一个“不变量之王”的雅称。在嗣后的年间,果尔丹的结果虽得到
各种推广,但要彻底解决问题还有很大的距离。
从撰写博士论文起,希尔伯特对不变量理论就已经熟悉,其中的果尔丹
问题引起了他的极大兴趣。年夏,在听了果尔丹本人的讲述后,他似乎
体验到了一种前所未有的新境界。果尔丹问题唤起了他那丰富的想象力。他
决定向果尔丹问题发起进攻。这是值得的,因为它具备一个重大而富有意义
的数学问题应有的全部特点:清晰、易懂、困难、有意义。就在他告别果尔
丹,途经哥廷根返回哥尼斯堡的时候,经过一个短时期的努力,他已经把果
尔丹对二元型情况的证明大大地作了改进。虽只是一个前哨战,但已使人们
惊叹不已。果尔丹用了大半生努力证明的问题,竟被希尔伯特在一两个月的
时间里,用四页纸的另一个证明所代替,这怎能不令人振奋呢?就是希尔伯
特自己也很欢欣鼓舞,他看到了攻克一般果尔丹问题的曙光。
年月日,希尔伯特给哥廷根科学会会刊寄出一份不长的论文摘
要,宣布任意元代数形式(型)的果尔丹问题已经彻底解决。这简直令人难
以置信。前几天还使人不敢问津的世界难题,怎么一下子就解决了呢?但事
实确实如此。就像玩“哥伦布鸡蛋”那样,希尔伯特改变了解决问题的思路,
他不去循那条由果尔丹开辟的老路,一个一个地去构造有限基,而是证明有
限基的存在,因为问题也只需要证明它存在就可以了。这样,希尔伯特证明
的意义就不仅在于解决了问题,而且使人从昏睡的迷茫中惊醒——看到了一
条证明存在性定理的崭新之路。
也有不少人反对希尔伯特的做法。果尔丹不用说,就连希尔伯特博士论
文的导师林德曼也觉得他的证明方法“古怪”得“有害”。在寥寥无几的最
早支持者中,克莱因宣称这个方法“非常简单,在逻辑上是不可抗拒的”。
但两年后的情况就不同了,一些人慢慢地意识到数学之路毕竟不是唯一的,
完全没有必要如此保守。果尔丹还特意写信给希尔伯特,向他表示敬意,称
赞他的证明“完全正确”,并说如果不是这样,果尔丹问题也许根本就不可
能解决。有意思的是,就在果尔丹承认存在性证明的时候,希尔伯特却一头
扎进了构造性证明的思考之中。
比起存在性证明来,数学家的天性似乎更喜欢构造,因为它能给人以看
得见摸得着的具体形象,而不是从矛盾中产生信念(如反证法)。年以
后,希尔伯特一直试图寻找一个构造性的方法来证明不变系基的有限性。
年,希尔伯特终于在由克罗内克所发展的导致构造的习用的标准方程式中,
找到了解决问题的关键,拿出了一组完全整基。这样,通过发展新概念和引
入新方法,不仅由不变式生成的函数域理论的最主要目的已经达到,而且把
克罗内克和戴德金所开创的代数学提高到了一个新的水平。
年,在美国芝加哥大学校庆之际,举行了“国际数学大会”。希尔
伯特又向大会提交了一篇关于不变量理论的总结性论文。这个带有宣判性的
总结,表明不变量理论由于希尔伯特的工作已经基本完成,作为一个单独的
理论已经枯萎。尽管这个结论是冷色调的,但仍然鼓舞人心。文章同时表明
希尔伯特已经开始向新的领域挺进。
代数数域论是希尔伯特挺进的第二个数学领地。这个领域是多年前由
狄里克雷对单元群的分析以及库曼、戴德金和克罗内克引入理想、除子等概
念而打下基础的。希尔伯特在与胡尔维茨一起散步时,曾经讨论过代数数域
问题,当时
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