2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲线问题是高考的重点,曲线的切线又是近几年的热点,这类题对学生的要求比较高,充分考查学生的逻辑思维能力,本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。背景知识已知圆,点是圆上一点,:易知以为切点的直线方程为:(2011年江西高考理科第14题)问题1:若椭圆的焦点在轴上,过点作圆的切线,切点分别为,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,:设∵点在圆上,。∴,。,可得到如下推广:结论一:(圆的切点弦方程)过圆,外一点作圆的两切线,切点为,则直线的方程为:.问题2:过椭圆外一点作椭圆的两切线,:设则过的切线方程分别为;由于两切线都过,则①②这两式表示直线经过,所以直线的方程为:。结论二:(椭圆的切点弦方程)过椭圆外一点作椭圆的两切线,切点为则直线的方程为:问题3:过抛物线外一点作抛物线两切线,切点分别为,求直线的方程。解:设则过的切线方程为由于过的切线都经过则∴直线的方程为即结论三:(抛物线的切点弦方程)过抛物线外一点作两切线,切点为,:过双曲线外一点作双曲线两切线,切点分别为,求直线的方程。解:设两切点的坐标为则两切线方程为,由于两切线均过则故均为方程的解,则过的直线方程为:结论四:(双曲线的切点弦方程)过双曲线外一点作双曲线两切线,切点分别为则直线的方程为:.
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