圆面积公式的各种证明方法 刘晓丽、李小龙.doc

圆面积公式的各种证明方法证明方法1:转化(小学段)(1)拼成平行四边形,4份,8份,16份。(2)拼成长方形。近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径。长方形的面积 =  长  ×  宽圆的面积  =  πr  ×  r所以,圆的面积公式是:S=πr2(3)拼成两层平行四边形(两层)近似平行四边形的面积 =  底   ×   高圆的面积  =  C   ×   2r=  πr   ×   2r所以,圆的面积公式是:   S=πr2(4)用三角形(小)拼三角形的面积 =  × 底  ×  高圆的面积=   ×(×C)× r×16所以,圆的面积公式是:S=πr2(5)拼成梯形梯形的面积 =  (上底+下底)× 高圆的面积= ×(+)×C×2r所以,圆的面积公式是:S=πr2拼成三角形(大)(6)三角形的面积 =  底   × 高圆的面积= ×(×C)× 4r所以,圆的面积公式是:S=πr2证明方法2::每份长为2πr/,并且连接各个分点,,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式)取极限:lim(n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1所以lim(n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2证明方法3:极限法(高中段:以圆的正n边形表示圆的面积:设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积:Sn=(n/2)r2sin(2π/n)当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,(函数的极限):当x→0时,lim[(sinx)/x]=1[题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]把Sn变形:Sn=πr2lim[sin(2π/n)/(2π/n)]于是,当n→∞时,2π/n→0lim[s