第十章 第2节 二重积分的计算法.ppt

目录上页下页返回结束第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第十章目录上页下页返回结束Oy)(1yx??)(2yx??xdc且在D上连续时, 0),(?yxf当被积函数???????bxaxyxD)()(:21????Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21?????baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为X -型区域则O)(1xy??)(2xy??xbyDax若D为Y - 型区域???????dycyxyD)()(:21??yxyxfyyd),()()(21????dcyd???Dyxyxfdd),(则一、利用直角坐标计算二重积分目录上页下页返回结束当被积函数),(yxf???2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf?),(1yxf),(2yxf均非负??????DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号时,???Dyxyxfdd),(2目录上页下页返回结束xyOxyDO说明: (1) 若积分区域既是X - 型区域又是Y- 型区域, ??Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.)(2xy??ba)(1yx??)(2yx??dc则有x)(1xy??yyyxfxxd),()()(21?????baxdxyxfyyd),()()(21?????dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX -型域或Y -型域, ???????????321DDDD则目录上页下页返回结束1212??,d???DyxI?其中D 是直线y=1, x=2, 及y=x所围的闭区域. - 型区域, 则???:D?I?21dx?yyxd??21dx?????2121321dxxx89??? - 型区域,则???:D?I?xyxd?21dy??yyx2221?????21321d2yyy89?1xy2xy??121??x2??xy21??yxy?xyxyO目录上页下页返回结束例2. 计算,d??Dyx?其中D 是抛物线xy?2所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对x 后对y 积分,???:D?xyxd???Dyx?d???21dy??????212221d2yyxyy?????2152d])2([21yyyy??126**********?????yyyy845?Dxy?22??xy21?4Oyxy22???yxy21???y2y2?y2??xy及直线则目录上页下页返回结束例3. 计算,ddsin??Dyxxx其中D 是直线,0,???xxy?解:由被积函数可知,因此取D 为X -型域:π00:???????xxyD???Dyxxxddsin?xy0d??π0dsinxx??0πcosx??2???π0dsinxxxπ?x先对x积分不行, 说明:有些二次积分为了积分方便, . 交换下列积分顺序???????22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211???????xxyD822??yx2D22yxO2????????22280:22xxyD21DDD??将???:D视为Y - 型区域, 则282yxy???20??y???DyxyxfIdd),(??282d),(yyxyxf??20dy1D221xy?,dd)1ln(2yxyyxID?????其中D 由,42xy??1,3?????xy3??2D1D1?x解:令)1ln(),(2yyxyxf???21DDD??(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf???,2上在D),(),(yxfyxf???yxyyxIDdd)1ln(12??????0?yxyyxDdd)1ln(22?????4目录上页下页返回结束二、利用极坐标计算二重积分Oxkkkrr?????kkkkkkrr????sin,cos??对应有在极坐标系下, 用同心圆r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k??kkkkkrrrr????????)]([21),,2,1(nkk????在k??),,(kkr?k???kk??????krr?k??kkr????221内取点kkkrr??????221)(及射线?=常数, 分划区域D 为kkr??krkr?k??O