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数学模型答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗?【问题提出】    日常生活中有这样的现象:把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍微挪动几次,.【模型假设】    为了明确问题,对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下,作出如下假设:    (1)椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形.    (2)地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即从数学的角度看,.    (3),要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,,如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的),此时三只脚是无法同时着地的.【建立模型】    在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来.    首先,,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形.    注意到椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,,这可以表示椅子位置的改变。于是,,在平面上建立直角坐标系来解决问题.    如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴,对称中心O为原点,,长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角θ(0≤θ≤π)表示出椅子绕点O旋转θ后的位置.        其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来.    我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,,因此,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.    由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,,,绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后,长方形位置不变,但A,C和B,,记   A、B两脚与地面竖直距离之和为f(θ),C、D两脚与地面竖直距离之和为g(θ),其中θ∈[0,π],从而将原问题数学化。数学模型:已知f(θ)和g(θ)是θ的非负连续函数,对任意θ,f(θ)•g(θ)=0,证明:存在θ0∈[0,π],使得f(θ0)=g(θ0)=0成立。【求解模型】如果f(0)=g(0)=0,那么结论成立。如果f(0)与g(0)不同时为零,不妨设f(0)>0,g(0)=0。这时,将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后,点A,B分别与C,D互换,但长方形ABCD在地面上所处的位置不变,由此可知,f(π)=g(0),g(π)=f(0).而由f(0)>0,g(0)=0,得g(π)>0,f(π)=0。令h(θ)=f(θ)-g(θ),由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。又h(0)=f(0)-g(0)>0,h(π)=f(π)-g(π)<0,,根据连续函数介值定理,必存在θ0∈(0,π)使得h(θ0)=0,即f(θ0)=g(θ0);又因为f(θ0)•g(θ0)=0,所以f(θ0)=g(θ0)=0。于是,椅子的四只脚同时着地,放稳了。【评注】    用函数的观点来解决问题,,,不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳,,鸡,米过河一问题的提出模仿“商人过河”模型,做下面游戏:人带着猫、鸡、米过河,船除需要人划之外,至多能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。设计一个过河方案,建立数学模型,并使渡河次数尽量地少。 二问题的分析因为这是个简单问题,研究对象少所以可以用穷举法,简单运算和图论即可解题。从状态(1,1,1,1)经过奇数次运算变为状态(0,0,0,