排列与组合.doc

排列组合问题的求解策略解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法。一、合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,作到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。例1、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有                      ( )       :由题意可先安排甲,并按其分类讨论:1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有种排法,由分类计数原理,排法共有种,选C。二、正难反易转化法对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题,从正面入手情况较多,不易解决,这时可从反面入手,将其转化为一个简单问题来处理。例2、马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种?分析: 关掉第1只灯的方法有6种,关第二只,第三只时需分类讨论,十分复杂。若从反面入手考虑,每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列,于是问题转化为“在5只亮灯的6个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为。三、混合问题“先选后排”对于排列组合混合问题,可先选出元素,再排列。例3、4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?分析: 因有一空盒,故必有一盒子放两球。1)选:从四个球中选2个有种,从4个盒中选3个盒有种;2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有种,故所求放法有种。四、特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。例4、用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()。 B。30个 C。40个 D。60个[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类:1)0排末尾时,有个,2)0不排在末尾时,则有个,由分数计数原理,共有偶数=30个,选B。五、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题,可以从总体中把不符合要求的除去,此时需注意不能多减,也不能少减。例如在例4中,也可用此法解答:五个数字组成三为数的全排列有个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要除去,故有个偶数。六、局部问题“整体优先法”对于局部排列问题,可先将局部看作一个元与其余元素一同排列,然后在进行局部排列。例5、7人站成一排照相,要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?分析: 甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”,这3人可从其余5人中选,有种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有种方法,它的内部甲、乙两人有种站法,中间选的3人也有种排法,故符合要求的站法共有种。七、相邻问题一“元”法对于某几个元素要求相邻的排列问题,可将相邻的元素看作一个“元”与其他元素排列,然后