极大似然.doc

第二章参数估计【学习目标】1、掌握矩估计的替代原则;会求已知分布中未知参数的矩估计(值)2、熟练掌握极大似然估计的思想及求法3、估计量的评价标准:无偏性、有效性、相合性的定义4、统计量的无偏性的判断;两个无偏估计的有效性判断;会用Fisher信息量及c-R下界进行统计量的UMVUE充分性判断5、掌握区间估计的定义6、单个正态总体均值的区间估计(包括方差已知、方差未知);单个正态总体方差的区间估计(包括均值已知、均值未知)7、两个正态总体均值差的区间估计(方差未知);两个正态总体方差比的区间估计8、单侧置信区间的求法【典型例题讲解】例1、设是来自均匀分布的总体的容量为n的样本,其中为未知参数,试证:的极大似然估计量不止一个,例如,,都是的极大似然估计。解:分布的密度函数为似然函数由于在上为常数,所以凡是满足:的均为的极大似然估计。从而(1)满足此条件,故是的极大似然估计;(2)由于,故,所以为的极大似然估计;(3)由于,故,,从而有,故也为的极大似然估计。例2、一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n的样本,其中含k个白球,求罐子里黑球数和白球数之比R的极大似然估计量。解:设罐子中有白球x个,则有黑球个,从而罐中共有个球。从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为,为黑球的概率为,于是从中有放回地抽n个球可视为从二点分布01   中抽取一个容量为n的样本,从而似然函数为两边取对数后对R求导,并令其为0,得似然方程:,解此方程得:,即为R的极大似然估计。(显然与我们的直观印象是相符的)例3、考虑某种离散分布其中对某些x可能有,有连续导数,设为来自具有这种分布的总体X的一个样本,(1)证明:的极大似然估计是方程的一个根。这里的极大似然方程与矩法方程相同。(2)试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普瓦松分布,二项分布。解:(1)证明:似然函数为,两边取对数有:,关于求导并令之为0,得:,即:,故的极大似然估计应满足方程:,又由知:,于是:,所以似然方程可写作:,显然与矩法估计一样。(2)对Possion分布,,其中,又,故似然方程的显式为对二项分布,,其中,,又,故似然方程的显式为:例4、设是取自均匀分布总体的一个样本,若将,分别取作的估计量,问:是否分别为的无偏估计量?如果不是,如何修正才能获得的无偏估计?解:总体X的密度函数为:,分布函数为:,于是的密度函数为,从而,同理可求的密度函数为:可见,不是的无偏估计,且从上面两式联立可得:,即,且由,得:,从而得的无偏估计量分别为:,,其中,例5、设为来自正态总体的一个样本,在下列三个统计量,,中,哪一个是的无偏估计,哪一个对的均方误差最小?解:首先显然是的无偏估计,另两个不是。;而当时,,所以的均方误差最小。(从这个例题可以看出,从均方误差最小这个角度来考虑统计量的话,无偏估计不一定是好的估计,要取决于估计量的评价标准)例6、设是参数的两个相互独立的无偏估计,且方差,试求常数,使得是的无偏估计,并在一切这样的线性估计类中使得方差最小。解:设,则,要使得,则只要