江自立的问题.doc

中值定理中构造辅助函数的典型例题本文由西南交通大学铁路电气化专业三年级江自立同学提出,并参与讨论,意在解释原例题中不易理解的几个细节。(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,且f(0)=0,f(21)=1,f(1)=0。证明:(一)存在??(21,1),使得f(?)=?;(二)对任意的k?(﹣∞,﹢∞),存在??(0,?),使得f’(?)-k[f(?)-?]=1[证明](一)对于不涉及导数的中间值存在问题,一般考虑利用连续函数在闭区间上的性质来证明令?(x)=f(x)-x。由于?(x)在[21,1]上连续,且?(21)>0,?(1)<0,所以根据连续函数的零点性质,存在??(21,1),使得f(?)=?。(二)要证f’(?)-k[f(?)-?]=1(1)即证f’(?)-1=k[f(?)-?](2)(2)式可视为下面的一阶微分方程f’(x)-1=k[f(x)-x](3)或(f(x)-x)’=k[f(x)-x](4)在?点的取值。微分方程(4)为f(x)-x求导等于自身的k倍,所以通解为f(x)-x=cekx(5)(5)式两边求导即是(4)。如果两个函数相等,比如(5),那么它们的导数点点相等,从而f(?)-?=cek?(6)移项整理得(f(?)-?)e-k?-c=0(7)到此,待证的(2)式等价地转换为证明(7)式。转换的意义在于用具体的指数函数表达f(x)-x,且不含导数符号。现以(7)式左边为基础,定义F(x)=(f(x)-x)e-kx。去掉常数-c不影响F(x)求导结果,又能使F(x)适用罗尔定理。作为记忆规则,不妨理解为由(7)式解出c,再定义F(x)=c。由于F’(x)=(f’(x)-1)e-kx-k(f(x)-x)e-kxF(0)=F(η)=0,F(x)在[0,η]上连续,(0,η)上可导,由罗尔定理,存在??(0,?),使得F’(?)=(f’(?)-1)e-k?-k(f(?)-?)e-k?=0从而f’(?)-k[f(?)-?]=1