利润最大化与二次函数.doc

利润最大化与二次函数二次函数在市场经济的今天,用途特别广泛。利润最大问题,就是一个典型。下面就举例说明。1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,,,:(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式.(2)该宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式.(3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,有最大值?最大值是多少?(2008年贵阳市)分析:因为,每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,现在增加x元,折合个10元,所以,有个房间空闲;空房间数+入住房间数=60,这样第一问就解决了;房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量,这样第二问的等量关系也找到了;在解答第三问时,关键是理解利润的意义,利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。解:(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式是:y=60-,(2)宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式是:z=(200+x)(60-),(3)宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式是:W=(200+x)(60-)-20(60-),整理,得:W=-+42x+10800=-(x2-420x)+10800=-(x-210)2+15210,因为,a=-<0,所以,函数有最大值,并且,当x=210时,函数W有最大值,最大值为15210,当每个房间的定价为每天410元时,有最大值,最大值是15210元。2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量成正比例关系,如图12-①所示;种植花卉的利润与投资量成二次函数关系,如图12-②所示(注:利润与投资量的单位:万元)(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式;(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?(2008年•南宁市)分析:根据图像和题意知道y1是x的正比例函数,并且知道图像上的一个点的坐标为P(1,2),这样就可以求出正比例函数的解析式;仔细观察抛物线的特点,抛物线经过原点,顶点也在原点,因此,解析式一定是形如y=ax2的形式。解:(1)因为,y1是x的正比例函数,设,y1=kx,因为,图像经过点P(1,2),所以,2=k,所以,利润y1关于投资量的函数关系式是y1=2x,x>0;因为,y2是x的二次函数,设,y2==ax2,因为,图像经过点Q(2,2),所以,2=4a,所以,a=,所以,利润y2关于投资量的函数关系式是y2=x2,x>0;(2)这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,其中投资花卉x万元,他获得的利润是:y=y1+y2=x2+2×(8-x)=x2-2x+16=(x-2)2+14,因为,a=>0,所以,函数有最小值,并且,当x=2万元时,函数y有最小值,最小值为14万元;因为,对称轴是x=2,当0≤x≤2时,y随x的增大而减小,所以,当x=0时,y有最大值,且为y=(x-2)2+14=16,当2<