斐波那契数列.doc

,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法„„1,2,3,5,8,13„„所以,登上十级,有89种走法。类似的,一枚均匀的硬币掷10次,问不连续出现正面的可能情形有多少种,答案是(1/?5)*{[(1+?5)/2]^(10+2)-[(1-?5)/2]^(10+2)}=144种。,F(n)/F(n+1)的极限是多少,这个可由它的通项公式直接得到,极限是(-1+?5)/2,这个就是黄金分割的数值,也是代表大自然的和谐的一个数字。(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式由数学归纳法可以得到:a(n)=F(n+1)/F(n),将斐波那契数列的通项式代入,化简就得结果。(关于斐波那契数列的别名)斐波那契数列又因数学家列昂纳多?斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子,我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对两个月后,生下一对小兔民数共有两对三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对,,,,,,依次类推可以列出下表:经过月数0123456789101112幼仔对数001123581321345589成兔对数01123581321345589144总体对数1123581321345589144233幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外,还可以证明通项公式为:an=(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n-[(1-?5)/2]^n}(n=1,2,3.....)数字谜题三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系:现有长为144cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少,分析:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线段就是2(为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和),依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10。我们看到,“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用,正是这个最小数1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了。这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。在这个问题中,144>143,这个143