函数单调性的判定方法.docx

函数单调性的判定方法判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种:。一般地,设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2D,当x1x2时,总有(1)f(x1)f(x2),则称f为D上的增函数,特别当成立严格不等f(x1)f(x2)时,称f为D上的严格增函数;(2)f(x1)f(x2),则称f为D上的减函数,特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时,称f为D上的严格减函数。给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤:(1)设元,任取x1,x2D且x1x2;(2)作差f(x1)f(x2);(3)变形(普遍是因式分解和配方);(4)断号(即判断 f(x1) f(x2)差与0的大小);(5)定论(即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性)。(x)x3a(aR)在(,)上是减函数。证明:设x1,x2(,),且x1x2,则f(x1)f(x2)x13a(x23a)x23x13(x2x1)(x12x22x1x2).1由于x12x22x1x2(x1x2)23x220,x2x1024则f(x1)f(x2)(x2x1)(x12x22x1x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在,上是减函数。(x)xk(k0)在(0,)上的单调性。x证明:设x1、x2(0,),且x1x2,则f(x1)f(x2)(x1k)(x2k)(x1x2)(kk)x1x2x1x2(x1x2)k(x2x1)(x1x2)k(x1x2)(x1x2)(x1x2k),x1x2x1x2x1x2又0x1x2所以x1x20,x1x20,当x1、x2(0,k]时x1x2k0f(x1)f(x2)0,此时函数f(x)为减函数;当x1、x2(k,)时x1x2k0f(x1)f(x2)0,此时函数f(x)为增函数。综上函数f(x)xk(k0)在区间(0,k]内为减函数;在区间(k,)内为增函x数。此题函数f(x)是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于x1x2k与0的大小关系(k0)不是明确的,因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x1 x2时,容易得出 f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表:2函数 函数表达式 单调区间 特殊函数图像一次函 y kx b(k 0)数二yax2bxc次函(a0,a,b,cR)数反k比yx例函(kR且k0)数指yax数函数0,a1)(ak0时,y在R上是增函数;k0时,y在R上是减函数。当a0时,xb时y单调减,b2ax时y单调增;2ab当a0时,x时y单调增,b2ax时y单调减。2a当k0时,y在x0时单调减,在x0时单调减;当k 0时,y在x 0时单调增,在 x 0时单调增。当a 1时,y在R上是增函数;当0 a 1,时y在R上是减函数。3当a1时,y在(0,)上是增函数;对ylogax数0a1时,y在(0,)上是减函数。函当数(a0,a1)对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论:⑴.f(x)与f(x)+C单调性相同。(C为常数)⑵.当k 0时,f(x)与kf(x)具有相同的单调性;当 k 0时, f(x)与kf(x)具有相反的单调性。⑶.当f(x)恒不等于零时,f(x)与1具有相反的单调性。f(x)⑷.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)在D上是增(减)函数。⑸.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于 0时,f(x)g(x)在D上是增(减)函数;当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于 0时,f(x)g(x)在D上是减(增)函数。⑹.设y f(x),x D为严格增(减)函数,则 f必有反函数f1,且f1在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数。我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性,下面我们来看以下几个例子:()xx3log2x32x1(21)5的单调性。xx解:函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数,因为2x10,x210由性质⑸可得2x1(x21)也是增函数;由单调函数的性质⑷知