高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc

:(为常数),等差中项:成等差数列前项和性质:是等差数列(1)若,则(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;(3)若三个成等差数列,可设为(4)若是等差数列,且前项和分别为,则(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,即:当,,由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数的等差数列,有,.(7)项数为奇数的等差数列,有,,.:(为常数,),.等比中项:成等比数列,:(要注意!)性质:是等比数列(1)若,则(2)仍为等比数列,:由求时应注意什么?时,;时,.二解题方法1求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法如:数列,,求解时,,∴①时, ②①—②得:,∴,∴[练习]数列满足,求注意到,代入得;又,∴是等比数列,时,(2)叠乘法如:数列中,,求解,∴又,∴.(3)等差型递推公式由,求,用迭加法时,两边相加得∴(4)等比型递推公式(为常数,)可转化为等比数列,设令,∴,∴是首项为为公比的等比数列∴,∴(5)倒数法如:,求由已知得:,∴∴为等差数列,,公差为,∴,∴(附:公式法、利用、累加法、、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,:是公差为的等差数列,求解:由∴[练习]求和:(2)错位相减法若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项和,可由,求,: ①②①—②时,,时,(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,[练习]已知,则由∴原式(附:{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn。,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。)三方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法一、直接(或转化)由等差、:2、等比数列求和公式:例1设是公比大于1的等比数列,,且构成等差数列.(1)求数列的等差数列.(2):(1)由已知得解得. 设数列的公比为,由,,可知,即,..故数列的通项为.(2)由于由(1)得 ,又 是等差数列. :设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,:由等差数列求和公式得,(利用常用公式)∴===∴当,即n=8时,二、错位相减法设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。例2(07高考天津理21)在数列中,,其中.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅰ)解:由,,可得,所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为.(Ⅱ)解:设, ①②当时,①式减去②式,得,.,.(07高考全国Ⅱ文21)设是等差数列