函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全.docx

22函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。对称性定义(略),请用图形来理解。对称性:我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f(-x)=f(x)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的f(x)+f(-x)=0探讨:(1)函数y=f(x)关于x=a对称Ûf(a+x)=f(a-x)f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)简证:设点(x1,y1)在y=f(x)上,通过f(x)=f(2a-x)可知,y1=f(x1)=f(2a-x1),即点(2a-x1,y1)也在y=f(x)上,而点(x1,y1)与点(2a-x1,y1)关于x=a对称。得证。若写成:f(a+x)=f(b-x),函数y=f(x)关于直线x=(a+x)+(b-x)2=a+b2对称(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称Ûf(a+x)+f(a-x)=2b上述关系也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b简证:设点(x1,y1)在y=f(x)上,即y1=f(x1),通过f(2a-x)+f(x)=2b可知,f(2a-x1)+f(x1)=2b,所以f(2a-x1)=2b-f(x1)=2b-y1,所以点(2a-x1,2b-y1)也在y=f(x)上,而点(2a-x1,2b-y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。若写成:f(a+x)+f(b-x)=c,函数y=f(x)关于点(a+bc,)22对称(3)函数y=f(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于4、周期性:y=b对称,比如圆c(x,y)=x+y-4=0它会关于y=0对称。(1)函数y=f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为2TA、f(x+T)=-f(x)B、f(x+T)=1f(x)或f(x+T)=-1f(x)TTC、f(x+T2)=1+f(x)1-f(x)或f(x+T2)=1-f(x)1+f(x)(等式右边加负号亦成立)D、其他情形(2)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),则可推出f(x)=f(2a-x)=f[b+(2a-x-b)]=f[b-(2a-x-b)]=f[x+2(b-a)]即可以得到y=f(x)的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足f(x+T)=-f(x)则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为x=+2kT(kÎz),根据f(x)=f(x+2T)可以找出其对称中心为(kT,0)(kÎz)(以2上T¹0)如果偶函数满足f(x+T)=-f(x)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为(+2kT,0)(kÎz),根据f(x)=f(x+2T)可以推出对称轴为x=T+2kT(kÎz)2(以上T¹0)(4)如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T¹0),则函数y=f(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T¹0),则函数y=f(x)是以2T为周期的周期性函数。定理3:若函数f(x)在R上满足f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=f(b-x)(其中a¹b),则函数y=f(x)以2(a-b):若函数f(x)在R上满足f(a+x)=-f(a-x),且f(b+x)=-f(b-x)(其中a¹b),则函数y=f(x)以2(a-b):若函数f(x)在R上满足f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=-f(b-x)(其中a¹b),则函数y=f(x)以4(a-b)、两个函数的图象对称性1、y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=-g(x),即它们关于y=0对称。2、y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。3、换种说法:y=f(x)换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(-x),即它们关于