浅谈排列组合应用题的解题技巧.doc

浅谈排列组合应用题的解题技巧.doc浅谈排列组合应用题的解题技巧摘要:本文根据排列组合的概念和特点从排列组合的概念法、基本原理分析法、特殊优先法、选纯法和去杂法、先捆绑再松绑法等多个方面阐述了解排列组合题的解题技巧。关键词:排列组合概念基本原理解题技巧中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1672-1578(2014)4-0056-01排列组合应用题灵活多样,解法花样繁多,学生常常感到这一部分难学,找不到解题方法,经常出错,笔者根据长期数学教学经验介绍几种常见的解排列组合应用题的方法。1排列与组合概念法排列与组合的共同点就是“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点就是排列“要按一定的顺序排成一列”,组合却是“不论怎样的顺序都行并组成一组”。排列实际上就是先组后排,先取后排,组合实际上只是排列的第一步,只取不排。例1、某铁路沿线有10个车站,共需要准备多少种普通客票?分析:因每张车票对应着2个站,有顺序之分,所以此题是排列,需要从10个车站中任取2个站的排列种数是P102=10X9=90种。例2、10个人相互握手告别,一共要握几次?分析:两人握手算一次,没有顺序之分,是组合即C102=45次。2基本原理分析法加法和乘法两个基本原理是解排列组合问题的主要依据,也是最基本的方法。例3、一批产品20件,其中有2件次品,其余均为正品,从20件产品中任意抽取3件进行检验,问(1)恰有一件次品的抽法有多少种?(2)至多有一件次品的抽法有多少种?解:(1)抽取的3件产品中恰有一件次品应分为两步完成:第一步,从2件次品中任意抽取1件,有C21种。第二步,从18件正品中任意抽取2件,有C182种。根据分步乘法原理,所有的抽法为C21?C182=306种。(2)抽取的3件产品中至多有1件次品,包含两种情况:第一类,3件中没有次品,其抽法有C183种。第二类,3件中有1件次品,其抽法有C217C182种。根据分类加法原理,所求抽法总数为C183+C21C182=1122种。总之,两个计数原理,都是计算做一件事不同方法的种数,分类加法原理中的各种方法相互独立,用任何一种方法都可以单独完成这件事;分步乘法原理中的各个步骤相互依存、缺一不可,必须都完成才算最终完成某项事情。3特殊优先法对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题,可以从这些“特殊”入手,先满足特殊元素或特殊位置,再去满足其他元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。例4、一名老师和四名学生排成一排拍照,若老师不排在两端,共有几种不同的排法?解法1:(特殊元素法)老师在中间的三个位置上任选一个位置的选法有P31,然后四名学生在余下的四个位置上排有P44种。所以共有P31?P44=72种。解法2:(特殊位置法)先在两端排两名学生,有P42种方法,其余位置的排法有P33种,所以共有排法种数为P42?P33=72种。4选纯法和去杂法例5、从8名男生、4名女生中选出3人参加比赛,至少有1名女生的选法有多少种?解法1:“选纯法”满足条件的选法可分三类考虑,第一类是恰有1名女生的选法;第二类是恰有2名女生的选法;第三类是恰有3名女生的选法,根据加法原理,所选3人中至少有1名女生的选法种数是:C41?C82+C42?C81+C43=4X28+