浅谈数学归纳法的应用.docx

浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的证明方法,在不少数学问题的证明中,它都有着其他方法所不能替代的作用,甚至在物理、,然后通过一些具有例子讨论数学归纳法在中学数学中的应用,最后简单叙述数学归纳法在应用中需要注意的问题 .;不完全归纳法是非逻辑方法,只适用于数学发现思维,,也不是演绎法,是一种递归推理,其理论依据是佩亚诺公理Ⅰ―Ⅴ中的归纳公理:Ⅰ.存在一个自然数 0∈N;.每个自然数a有一个后继元素d,如果d是a的后继元素,则a叫做d的生成元素;Ⅲ.自然数0无生成元素;Ⅳ.如果d=b′,则a=b;Ⅴ.(归纳公理)自然数集N的每个子集M,如果M含有0,并且含有M内每个元素的后继元素,则M=,它不仅可以用来证明与自然数有关的初等数学问题,而且还可以解决高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、,能大大降低问题的复杂性,同时能找出相应的递推关系 .下面结合具体例子讨论数学归纳法在整除、不等式、数列等问题中的应用 .数学归纳法在整除问题的应用整除问题都可以用数学归纳法来解决,用数学归纳法证明整除问题时,首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子, 然后证明剩余的式子也能被某式整除, 这是数学归纳法证明整数的整除性问题的一个技巧 .1求证:n3+5n(n∈N+)(1)当n=1时,13+5×1=6能被6整除,命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即 k3+=k+1时,有(k+1)3+5(k+1)=(k3+3k2+3k+1)+(5k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+ k(k+1)是偶数,所以3k(k+1)(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除,即当 n=k+,对一切正整数命题都成立 .数学归纳法在不等式问题的应用用数学归纳法证明不等式,宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异,以决定n=k时不等式做何种变形, 一般地只能变出n=k+1等式的一边,然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由 n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明 .2设ai>0(i=1,2,,n),且a1+a2++an=:a21+a22+ +a ( ).证(1)当n=2时,因a1+a2=1,+a22+2a1a2= ,所以2)假设当n=k时命题成立,即在a1+a2++ak且a>0(i=1,2,,k)的条件下有则当n=k+1时,a21+a22+ +ak2+ak+12=1,且ai>0,所以0故1-ak+1>0满足归纳假 设所应满足的条件,所以(a11-ak+1)2+(a21-ak+1)2+ +(ak1-ak+1)即 (1-ak+1)2k(1-ak+1)2k+ak+(1-ak+1)2k+ak+12-1k+1=(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+1k(k+1)=1k(k+1)[(k+1)ak+1-所以根据数学归纳法,原命题对大于的自然数都成立.3数