定积分习题课.doc

设在上连续,且,试证:在内存在不同的点,使。证明:法一:由积分中值定理知,,利用条件知。(反证法)若在内仅有,使,则连续函数分别在,内不会变号(否则用零点定理可再找到函数的零点)(1)若在,内都为正(或都为负),则有(或<0),矛盾。(2)若两个区间函数异号,不妨设在内,内,由条件知,但因为内,因为内,又推出,矛盾!法二:记,则,又由条件得。因由得用积分中值定理,,即。因,,,用Rolle定理,,即。此题的变化:(用法一)(1)设在上连续,且,试证:在内存在不同的点,使。提示:由,,使。考虑导出矛盾!(2)设在上连续,且,,试证:在内存在不同的点,使。若在上连续,试证:,。提示:对用罗尔定理即可。设在上可微,且,试证:,使。提示:用积分中值定理,,再对函数在上用罗尔定理即可。此题变化:设在上可微,且,试证:,使。设在上连续,且,证明:,提示:对用介值定理。设二阶可导,且,试证:,。提示:,而,。即,而,,试证:。证明:,,令即可。设在上有连续导数,不变号,在上连续,试证:,(积分第二中值定理)证明:记,=(用了积分第一中值定理)(二)利用定积分求极限求解记和式为,则,而,,所以。求解记,,所以。(三)(1)解(积分时为常量,用线性性质)。(2)解作积分变量代换,则因为旧积分变量,为新积分变量,积分(变量代换)时为常量,(3)设方程确定函数,求。解方程两边对求导:解得,设连续,,,求并讨论在0点的连续性。解由连续,得。易知,。又故在0点的连续。设连续,且,试证:若单减,则也单减;若为偶函数,则也为偶函数。证明:(1),介于0与之间,若,则,得,单减;若,则,得,单减。(2)令因偶故也为偶函数。设,求在上的极值。解,求得上的驻点为。且在驻点左右导数由正变负,它为极大点。极大值为(分部积分两次)故。(四)周期函数积分周期为的函数积分常用结果:,设,则为__________。:由于是以为周期的函数,因此为常数(与无关),且注:这里用了积分等式。设是周期为的连续奇函数,证明:,为正整数。证明:令,而是周期为的奇函数,。故得证。设是周期为(>0)的连续函数,证明:也是周期为的函数证明:令,。所以。设,求。解(注意罗必达法则失效)因以为周期,考虑,,,所以,由夹挤准则得。(五),且,求。解令,方程两边积分得,即,所以。故。设连续,且,求。解方程两边求导:,即,再求导得。设,求解,。设连续,且,已知,求。解令,则方程两边求导得令,得。还有不等式证明,定积分几何应用、反常积分内容也是重点哦!伞鹏专立龙使凿眨庐琴九荣洒怠蹋训橱习靶代肪越祥荔智膘捍粮岿沪丈