高等数学试题集.doc

高等数学试题1一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。),,且当时,与为等价无穷小,则。,则______。。,则曲线在点处的法线方程为______二、选择题:(本题15分,每小题3分。),则下列函数中必为偶函数的是()(A);(B);(C);(D)。,下述结论中正确的是()(A)若只有一个零点,则必至少有两个零点;(B)若至少有一个零点,则必至少有两个零点;(C)若没有零点,则至少有一个零点;(D)若没有零点,则至多有一个零点。,满足,,又,则当时恒有()(A);(B);(C);(D)。(B)(A);(B);(C);(D),且将此两平面的距离分为1:3,则平面的一个方程为()、(本题6分)已知曲线与曲线在点处具有相同的切线,写出该切线方程,并求极限。四、(本题10分)设函数试讨论在处的连续性和可导性。五、设,求。(本题10分)六、(本题8分)计算不定积分七、(本题8分)已知具有二阶连续导数,,且求八、(本题10分)过坐标原点作曲线的切线,;、(本题8分)计算十、(本题10分)设是可导函数,且,证明:存在,使一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)。2.。3.。、选择题:(本题15分,每小题3分。)1.(A)2.(D)3.(B)4.(B)5.(D)三、(本题6分)2四、(1)在连续。(2)在可导。五、设,求。(本题10分)六、七、八、(1)面积;(2)体积九、十、证明:取辅助函数为,则在区间上连续且可导,显然故由罗尔中值定理,存在,使得,再由,知,因此,结论成立。高等数学试题2填空题(每题4分,共20分),是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则正整数等于。(2),则=。()。(1)4.。()5.。(0)分析:与共线,而,,。(10分)已知,求、。解:,,,。三、(10分)设在内可导,且,,求的值。解:,而由拉格朗日中值定理有,,。四、(10分)设在上可导,,且其反函数为,若,求。解:与互为反函数,由,得,,,,,五、(10分)若当时,的导数与为等价无穷小,求。解:由,又六、(10分)计算解:。七、(10分)计算,其中为自然数。解:八、(10分)一容器的侧面和底面可看作曲线段和直线段绕轴旋转而成(见附图,坐标轴单位长度为米),若以米/分的速度向容器注水,试求当水面高度达到容器深度一半时水面上升的速度。解:设注水分钟后,容器水面的高度为注水分钟后的体积012两边关于求导得所以米/分。九、(10分)设在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,,求证:证明:令,则,再令,则,因为,所以当时,,所以,,因此有,故,从而有。,,且,当时,有,则——,且,,当时,是同阶无穷小,则——,且,则=——,的导数与为等价无穷小,则=——,的解,则=——“中值”,则————。。(x)在x0处连续。证明:在x0的某邻域(x0-δ,x0+δ)内,f(x)有界。设y=ln(secx+tgx),,,试解答下列问题:(1)用表示;(2)求;(3)求证:;(4)设在内的最大值和最小值分别是,求证:.,设河宽为,一条船从岸边一点出发驶向对岸,船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数,河流中水的流速为常数,试求船过河所走的路线(曲线方程);并讨论在什么条件下(1)船能到达对岸;(2)=1,c=1/22()=:解:=tg,则dx=sec2d,x=1时,=;x=,=,于是原式==,存在充分小的δ,使当|x-x|<δ时,恒有|f(x)-f(x0)|<1于是,当x∈(x0-δ,x0+δ)时,有|f(x)||f(x0)|+|f(x)-f(x0)|<1+|f(x0)|.3解=(1)(2)(3)(4),设为船在要时刻的位置此时两个分速度为,消去t得,又,代入得,则有讨论:①当②③高等数学试题4 ,试求(10分),试确定常数的值。(10分)三.(10分),且=0,求证:至少存在一个,使.(