斐波那契数列.doc

以斐波那契数列为背景的试题探究安徽省太和县太和中学岳峻手机:**********qq:1172933768邮箱:tzh5197jun@一、斐波那契数列斐波那契,公元13世纪意大利数学家,他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”:假定有一对大兔子,每一个月可生下一对小兔子,并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡,那么,从一对小兔子开始,一年后共有多少对兔子?斐波那契在研究时,发现有这样一个数列的数学模型:其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,亦即数列满足:且这个数列就是著名的“斐波那契数列”,而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.事实上,斐波那契数列的通项公式为,其神奇之处在于通项公式中含有无理数,?二、以斐波那契数列为背景命制试题(一)以斐波那契数列的概念为背景命制试题【例1】意大利数学家斐波那契在1202年出版的一书里提出了这样一个问题:一对兔子被饲养到第二个月进入成年,第三个月生产一对小兔,以后每个月生产一对小兔,所生产的小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生产一对小兔,以后每个月生产一对小兔,那么,这样下去到年底,应有多少对兔子?此问题的程序框图如下,空白处应填写().【解析】斐波那契数列总有根据程序框图分析可知,正确答案为B.【变式1】如图是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于.【解析】从第一行开始,各行的实心圆点的个数依次为显然符合斐波那契数列的定义,第15行的实心圆点个数为第14个斐波那契数377.【例2】(2004北京市中学生数学竞赛)设是方程的两个根,:对任意正整数,都有【解析】因为是方程的2个根,则因此从而即【例3】(2009福建)5位学生围成一圈依序循环报数,规定:(1)第1位学生首次报出的数为1,第2位学生首次报出的数也为1,之后每位学生所报出的数都是前2位学生报出的数之和.(2)若报出的数为3的倍数,则报该数的学生,,当5位学生依序循环报到第100个数时,学生甲拍手的总次数为.【解析】设报到第个数为,:(1)当时,,命题成立;(2)假设时,为3的倍数,则当时,(1)(2)可知,,学生甲报的数为,这些数中是3的倍数有,故学生甲拍手的总次数为4.(二)以斐波那契数列的性质为背景命制试题【例4】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列:其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数列中的第项.【解析】斐波那契数列总有则,,,……,,所以故是斐波那契数列中的第2016项.【性质1】斐波那契数列的前项的平方和:即【例5】斐波那契,《算盘书》中记载着这样一个数列:其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,.【解析】由,,,……,,可得:故是斐波那契数列中的第2016项.【性质2】斐波那契数列的奇数项之和:即【例6】著名的斐波那契数列:满足那么是斐波那契数列中的第项.【解析】由,,……,,可得:故是斐波那契数列中的第2015项.【性质3】斐波那契数列的偶数项之和:即【例7】同学们都有这样的解题经验:在某些数列的求和中,可把其中一项分裂成两项之差,使得某些项可以相互抵消,从而实现化简求和.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列,这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列中,若那么数列的前2014项的和为.【解析】由,,,……,可得:故数列的前2014项的和为【性质4】斐波那契数列的前项之和即【性质5】连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差,是中间项的平方,即.【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式的变形或进行裂项,从而达到相消求和的目的.【例8】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列:其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.(1)某学生发现以下特征:由此可归纳出一个结论?能否给出证明?(2)证明:【解析】(1)证明如下:①当时,显然成立.②假设当时,即则当时,这就是说,①和②,可知等式对任意正整数都成立成立.(2)①当时,左右显然成立.②假设当时,即则当时,这就是说,①和②,可知等式对任意正整数都成立成立.【例9】,则的最小值是.【解析】斐