求数列通项公式的方法.doc

求数列通项公式的方法一、需要掌握的求数列通项公式的方法:观察归纳法,公式法,已知求数列的通项公式。需要掌握就是极其地熟练运用,随时都能完成。:例1、根据下面各数列前几项的值,写出下列数列的一个通项公式。(1)1,3,6,10,15,…(2)解析:(1)由,,,,不难猜想:。(2)数列的每一项都可化为分式形式,因此应从分子和分母两部分研究。分子的特征比较明显,由此可知,则,,,,猜想。说明:由数列的前几项的值猜想数列的一个通项公式采用是不完全归纳法,得到的结果可能是错误的,在解答题中应用数学归纳法进行证明。但在选择题和填空题这样的小题中是不错的方法。如:已知数列满足,则= () B. C. :已知递推公式,令,依次得,,,……,不难猜想数列是周期为3的特殊数列,故,选 B。:例2、已知数列中,,点在直线上,求数列的通项公式。解析:由题意得:,即。∴数列是一个首项,公差为7的等差数列。∴小结:由题意通过适当的转化,数列符合等差数列、等比数列的定义,从而利用等差数列、等比数列的通项公式求解。:例3、已知下面各数列的前项和,求的通项公式。(1);(2)解析:(1)当时,;当时,符合上式。∴(2)当时,;当时,,不符合上式。∴小结:⒈已知求是重要题型,是高考考查的重点知识。⒉已知求的步骤:①确定首项;②时,求出;③验证是否满足的表达式;④写出的表达式。⒊应注意公式的变形应用,如:等。练习:,则这个数列的通项公式是。,且,,则=。引申:,求的通项公式。分析:的左边实则是数列的前n项和,因此亦可求解。,则这个数列是():,则,两式相除既得,从而求出、,故。选C二、需要理解的求数列通项公式的方法:构造法。需要理解就是能熟练地运用知识解决问题,对其理论思想清楚。例4、已知数列中,且。,求的表达式。解析1:由得:∵,∴等式两边同时除以得:∴数列是以首项为,公差为2的等差数列。∴∴解析2:∵,∴由两边同时取倒数得:∴∴数列是以首项为,公差为2的等差数列。∴∴小结:由题意通过适当的转化可变形为:均可转化为等差数列,再利用等差数列的通项公式求解。例5、在数列中,已知且,的二次方程有重根,求的表达式。解析:由的二次方程因式分解得:,故方程的两根为,,∵的二次方程有重根,∴∴,∴∴数列是一个首项为,公比为的等比数列。∴,则。小结:形如的递推数列都可以通过待定系数法构造等比数列求通项公式。方法是令,即,对照比较知:∴。呢?请同学们自己思考一下。引申:已知数列中,已知,,求的表达式。解析:此题需要二次构造数列求解。方法是:由的两边同时除以得:。令,则,。再用待定系数法知,,故数列是一个首项为,公比为的等比数列。∴,则,即,∴。三、需要了解的求数列通项公式的方法:累