求值域的方法.doc

求值域的方法例析求函数值域的方法求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关,是高中数学的重点和难点,虽然没有固定的方法和模式,但常用的方法有:1、直接法:从自变量的范围出发,推出的取值范围。xyfx,()例1:求函数的值域。yx,,1解:?x,0,?x,,11,?函数的值域为。[1,),,yx,,11y,。x,0解:?1,0x?(,,,0):(0,,,)显然函数的值域是:,,求函数的值域。,,x,,1,0,1,2,,y,x,1,1解:因为,而,,,,,,,,,,,,,,x,,1,0,1,2f,1,f3,3f0,f2,0f1,,1所以:,,,y,,1,0,3x,R注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该例的定义域为,则函数的值域为,,。y|y,,12、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2的函数的值域问题,均可使用配方法。Fxafxbfxc()()(),,,配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2y,x,2x,5,x,[,1,2]。2y,(x,1),4解:将函数配方得:x,[,1,2]?1y,4y,8minmax由二次函数的性质可知:当x=1时,,当时,x,,1故函数的值域是:[4,8]2例2:求函数()的值域。x,,[1,1]yxx,,,,4222解:,yxxx,,,,,,,,42(2)62?,?,?x,,[1,1]x,,,,2[3,1]1(2)9,,,x2?,?,,,35y,,,,,,3(2)65x2?函数()的值域为。x,,[1,1][3,5],yxx,,,,422例3(求函数的值域。y,,2x,x,322,3,x,1y,,(x,1),4分析与解答:因为,2x,x,3,0,即,,于是:2,。0,y,20,,(x,1),4,42x2x41,,x,[,4]y例4(求函数,在区间的值域。x422,,42x2x4,,y,x,,2,,x,,,6y,分析与解答:由配方得:,,,xxx,,1416,y,18,x,2y,x,,2当时,函数是单调减函数,所以;44x42,x,4y,x,,2当时,函数是单调增函数,所以。6,y,7x116,y,18x,[,4]所以函数在区间的值域是。443、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。x12,y,例3:求函数的值域。x12,2x1,y1,y12,xx解:由解得,?,?,20,2,,0y,x12,1,y1,yx12,??函数的值域为。y,,,,11yy,,(1,1)x12,4、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。1,x例4:求函数的值域。y,25x,177,,,(25)x11,x222解:?,y,,,,,2525225xxx,,,711,x12y,{|}yy,,?,?y,,,?函数的值域为。,0225x,225x,5、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的b另一函数,从而求得原函数的值域,形如(、、ayaxbcxd,,,,da,0、均为常数,且)的函数常用此法求解。c对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。例1:求函数的值域。yxx,,,21221,tt,0tx,,12x,解:令(),则,21513522t,x,y,yttt,,,,,,,,1()??当,即时,,无最小值。max284245(,],,?函数的值域为。yxx,,,2124x5,y,2,logx,1(2,x,10)。3x5,y,2,y,logx,1123解:令y,y12则在[2,10]上都是增函数y,y,y12所以在[2,10]上是增函数13,y2log21,,,,min38当x=2时,5y,2,log9,33max3当x=10时,1,,,33,,8,,故所求函数的值域为:y,x,1,x,。2y,x,1,x,1解:原函数可化为:[1,,,]y,yy,x,1,y,x,11212令,显然在上为无上界的增函数[1,,,]y,yy12所以,在上也为无上界的增函数2,2y,y,y2212所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值y,0(0,2]显然,故原函数的值域为2y,x,2,1,(x,1)。21,(x,1),0解:因2(x,1),1即x,1,cos,,,,[0,,]故可令2y,cos,,1,1,cos,,sin,,cos,,1?4,,2sin(,,),14,50,,,,,0,,,,,?442,?,,sin(,,),124,?0,2sin(,,),1,1,24[0,