微积分与数学建模知识总结.doc

微积分与数学模型(上册)任课教师:陈骑兵小组成员张程1440610405王子尧1440610402李昊奇1440610403梅良玉1440610426方旭建1440610406李柏睿1440610428第1章函数,(掌握集合与区间的相关知识)函数定义:设x和y是两个变量,D是一个给定的数集。如果对于任意xD,按照某一法则f,变量y都有确定的值和它对应,则称f为定义在D上的函数,数集D称为函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量。与x对应的y的值记做f(x),称为函数f在x处的函数值。D上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域函数特性:1:函数的有界性设f(x)在集合X上有定义,若存在M>=0,使得对任意x属于X都有f(x的绝对值<=M,则称函数f(x在)X上有界;否则,称函数f(x)在X上无界。2:函数的单调性3:函数的奇偶性4:函数的周期性5:分段函数6::y=C,C为常数;幂函数如:y=x,R为常数;指数函数如:y=a,a>0且a1;对数函数如:y=,a>0且a1;三角函数如:y=sinx,y=cosx,y=tanx;反三角函数如:y=arcsinx,y=osx,y=arctanx;(1).极限的直观定义:当x接近于某个常数x0但不等于x0时,若f(x)趋向于常数A,则称A为f(x)当x趋向于x0时的极限。.极限的精确定义:给定函数f(x)和常数A,若对于∀ε>0(无论ε多么小),总彐δ>0,使得当0<|x-x0|<ε,则称A为f(x)当x趋于x0时的极限,记做limf(x)=:(定理)limf(x)=(x)和右极限limf(x)均存在且都等于A(定理)limf(x)=A的充要条件是limf(x)=limf(x)=:唯一性:若limf(x)存在,则必唯一局部有界性:若limf(x)=A,则存在M>0以及>0,使得当0<|x-x0|<时,有|f(x)|M局部保号性:若imf(x)=A,且A>0(或A<0),则存在>0,使得当0<|x-x0|<时,有f(x)>0(或f(x)<0)运算若limf(x)=A,limg(x)=B,则①.lim[f(x)±g(x)]存在,且lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;②.limf(x)·g(x)存在,且limf(x)g(x)=limf(x)·limg(x)=AB;③.若B≠0,则lim[f(x)/g(x)]存在,且lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B夹逼准则:若函数f(x),g(x),h(x)满足:当x∈U(x0,δ)时,有g(x)≤f(x)≤h(x);(2)limx→x0g(x)=A,limx→x0h(x)=A,则极限limx→x0f(x)存在,且等于A。两个重要极限:Ilim=1通用形式:lim=1IIlim(1+)=e通用形式:lim(1+)=:若对于∀ε>0,彐δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)|<ε,则称f(x)为x→x0时的无穷小量。注:(1)无穷小量是一个以零为极限的变量;(2)无穷小量不是一个数,不要将其与非常小的数混淆;(3)0是唯一可作为无穷小量的常数。无穷大量的定义:若对于∀M>0,彐δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)|>M,则称f(x)为x→x0时的无穷大量定理:(1)若f(x)为无穷大量,则1/f(x)为无穷小量;(2)若f(x)为无穷小量,且f(x)≠0,则1/f(x)为无穷大量。无穷小量的运算性质:a两个无穷小量的和或差仍为无穷小量;b有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量;C常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量;d有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量的比较:a若lim(β/α)=0,则称β是α的高阶无穷小,Fb若lim(β/α)=∞,则称β是α的低阶无穷小,c若lim(β/α)=C≠0,则称β是α的同阶无穷小,d若lim(β/α)=1,则称β与α是等阶无穷小,记做β~α。:i若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义,且limx→x0f(x)=f(x0),则称f(x)在点x连续ii若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义,且limΔx→0Δy=0,其中Δy表示对应于自)在包含x0的某个右(左)领域内有定义,且左右极限相等,则称f(x)在点x右(左)连续。间断点及其分类满足条件:f(x)x=x‚limf(x)存在ƒlimf(x)=f(x)三者有一个不成立,则称f(x)在点x间断,称x为间断点第