三角形五心性质.doc

三角形的五心定理一、.(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心二、三角形五心性质内心:1、、为所在平面上任意一点,点是内心的充要条件是:、为三角形的内心,、、分别为三角形的三个顶点,延长交边于,:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶、、、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,:1、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,、若是的外心,则(为锐角或直角)或(为钝角).3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。,,;.重心坐标:.4、:1、三角形三个顶点,三个垂足,、三角形外心、重心和垂心三点共线,且.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline))3、、:1、、:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。三、三角形五心性质证明垂心:已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F,求证:CF⊥:连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心::如图:△ABC中D为BC中点,E为AC中点,F为AB中点,G为△ABC重心做BG中点H,GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且2HI=BC同理:FE是△ABC中位线∴FE//BC,且2FE=BC∴FE//HI,且FE=HI∴四边形FHIE是平行四边形∴HG=GE又H为BG的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌(重外垂内旁)三角形有五颗心,重外垂内和旁心,五心性质很重要,,交点位置真奇巧,交点命名为“重心”,重心性质要明了,重心分割中线段,数段之比听分晓;长短之比二比一,,三个内角有三边